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Matemática

Álgebra

Álgebra

Álgebra Computacional

Os sistemas de álgebra computacional

Permitem a manipulação de expressões algébricas.

Podem trabalhar números e símbolos abstratos que representam quantidades numéricas.

Capacidade algébrica do computador não foi completamente explorada pois a programação do computador tem uma natureza parecida com a álgebra.

Em 1844, Augusta Ada Byron reconheceu como falsa a dicotomia que existia entre programador e computador.

Programador – manipula os símbolos algébricos.

Computador – está confinado a cálculos aritméticos.

Pavelle, elaborou um programa de manipulações matemáticas, que foi escrito na linguagem de programas algébricos chamado MACSYMA.

O programa foi posto em funcionamento e foi resolvido como teste um problema de 1973.

Os resultados foram confirmados pelo computador em apenas 2’.

Vantagens dos programas algébricos relativamente aos programas numéricos:

Mais económico em termos de tempo para o computador;

Respostas algébricas exatas;

Satisfação das finalidades da investigação científica, uma vez que o resultado é dado sob a forma algébrica;

Acumulação do conhecimento científico.

Como pode um computador ser programado para executar manipulações algébricas?

O computador deve seguir um procedimento rigoroso que especifique todos os passos a realizar.

Para desenvolver um algoritmo em álgebra computacional deve-se procurar um método compatível com a resolução mecanizada.

Os sistemas tendem a fornecer o mínimo de informação para simplificar a expressão algébrica, no entanto qualquer expressão algébrica pode ser representada numa variedade de vias equivalentes.

O operador pode definir as suas próprias funções, especificar as suas propriedades e fornecer as regras de simplificação apropriadas, podendo o computador ser empregue, algumas vezes, para achar tais regras.

Existem cerca de 60 sistemas de álgebra computacional, de acordo com o seu desenvolvimento histórico:

1º Grupo – foram projetados para resolver problemas específicos em campos como a Física Matemática e a Química Teórica.

ASHMEDAI
CAMAL
SCHOONSCHIP
SHEEP
TRIGMAN
ALTRAN
ALDESSAC2

2º Grupo – são de uso geral e fornecem ao investigador tantas capacidades matemáticas quanto possíveis.

Entre estes encontram-se:

MACSYMA
REDUCE
SCRATCHAPAD
SMP
MATHEMATICA

3º Grupo – são os que operam em microcomputadores.

Para os micro-computadores os sistemas de Álgebra computacional começam a aparecer agora, sendo o mais conhecido o MUMATH, DERIVE e o MAPLE.

Vantagens:

Acessíveis e interativos para o utilizador;

Linguagem de programação simples e de alto nível;

Efetuam cálculos complexos, com maior correcção que os efetuados por muitos matemáticos;

Não são utilizados unicamente para grandes cálculos.

Desvantagens:

Torna-os mais lentos do que os sistemas projetados para computadores de maiores capacidades;

Devido à capacidade, memória e velocidade, este não permite a resolução de problemas muito complexos.

Aplicações da Álgebra Computacional:

Acústica

Geometria Algébrica

Economia

Mecânica de Estruturas

Teoria de Número

Projeto de Hélices

Casco de navio

Pás de Hélices para helicópteros

Microscópios eletrónicos

Circuitos integrados

Investigações do “plasma físico”

Desenvolvimento das fontes de “fusão energética”

Refletir

Álgebra

A utilização do computador em investigações matemáticas alteram o conceito de demonstração?

Que tipo de implicações terá a utilização de software de geometria computacional na sala de aula?

Fonte: www.educ.fc.ul.pt

Álgebra

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.

Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação:

Álgebra

Álgebra

Álgebra

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".

Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:

(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.

(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos – para mencionar apenas algumas.

De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.

Equações algébricas e notação

A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).

O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos".

Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica.

É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área.

Álgebra

Breve História da Álgebra Abstrata

Capítulo 1

Um panorama geral

1.1 Introduçãoao

Durante muitíssimo tempo, a palavra Álgebra designava aquela parte da matemática que se ocupava de estudar as operações entre números e, principalmente, da resolução de equações. Nesse sentido, pode-se dizer que esta ciência é tão antiga quanto a própria história da humanidade, se levamos em conta que esta ´ultima se inicia a partir da descoberta da escrita. De fato, tanto nas tabuletas de argila da suméria quanto nos papiros egípcios, encontramos problemas matemáticos que lidam com a resolução de equações.

No Papiro Rhind, por exemplo, documento egípcio que data aproximadamente do ano 1650 a.C. e no qual o escriba conta que está copiando material que provém do ano 2000 a.C., encontramos problemas sobre distribui ção de mercadorias que conduzem a equações relativamente simples.

Surpreendentemente, descobrimos também que os antigos babilônios sabiam resolver completamente equações de segundo grau (veja, por exemplo o Capítulo III de [3]). Desde os seus começos, a álgebra se preocupou sempre com a procura de métodos gerais e rigorosos. Assim por exemplo, R.J. Gillings [9, Appendix I] comentando os métodos que os egípcios usavam para lidar com a resolução de equações diz:

Os estudiosos da história e filosofia da ciência do século vinte, ao considerar as contribuições dos antigos Egípcios, se inclinam para atitude moderna de que um argumento ou prova lógica deve ser simbólico para ser considerado rigoroso, e que um ou dois exemplos específicos usando números escolhidos não podem ser considerados cientificamente sólidos. Mas isto não ´e verdade! Um argumento ou demonstrações não simbólico pode ser realmente rigoroso quando dado p[ara um valor particular da variável; as condições para o rigor são que o valor particular da variável seja típico e que uma conseqüente generalização para qualquer valor seja imediata. Em qualquer dos tópicos mencionados neste livro, onde o tratamento dado pelos escribas seguia estas linhas, ambos os requisitos eram satisfeitos de modo que os argumentos colocados pelos escribas são já rigorosos... o rigor está implícito no método.

Quando finalmente se desenvolveu uma notação apropriada (empregando letras para representar coeficientes e variáveis de uma equação), foi possível determinar “fórmulas gerais” de resolução de equações e discutir métodos de trabalho também “gerais”. Porem, mesmo nestes casos, tratava-se de situações relativamente concretas. As letras representavam sempre algum tipo de números (inteiros, racionais, reais ou complexos) e utilizavam-se as propriedades destes de forma mais ou menos intuitiva. Como veremos adiante, a formalização destes conceitos de modo preciso só aconteceria a partir do século XIX.

Foi precisamente nesse século que alargou-se consideravelmente o conceito de operação. Alguns autores da época não mais se restringem a estudar as operações clássicas entre números, mas dão ao termo um significado bem mais amplo e estudam operações entre elementos, sem se preocupar com a natureza destes, interessando-se apenas com as propriedades que estas operações verificam.

A passagem da álgebra clássica para a assim chamada álgebra abstrata foi um processo sumamente interessante. Representa não somente um progresso quanto aos conteúdos técnico-cietíficos da disciplina como amplia consideravelmente o seu campo de aplicação e, o que é mais importante, implica - num certo sentido - uma mudança na própria concepção do que a matemática é, da compreensão de sua condição de ciência independente e da evolução dos métodos de trabalho.

J. Dieudonn é disse, em [1, Capítulo III] que “… em matemática, os grandes progressos estiveram sempre ligados a progressos na capacidade de elevarse um pouco mais no campo da abstração” e, na mesma obra, A. Lichnerowicz [1, Capítulo IV] observou que “´e uma característica da matemática repensar

O SIMBOLISMO ALGÉBRICO

Integralmente seus próprios conteúdos e nisso reside, inclusive, uma condição essencial para seu progresso”. A história da álgebra abstrata ilustra perfeitamente estes pontos de vista.

Pode-se dizer que há dois fatores que contribuíram fundamentalmente para o desenvolvimento da álgebra: de um lado, a tendência a aperfeiçoar as notações, de modo a permitir tornar o trabalho com as operações (e equações) cada vez mais simples, rápido e o mais geral possível e, por outro lado, a necessidade de introduzir novos conjuntos de números, com o conseqüente esforço para compreender sua natureza e sua adequada formalização.

E bem sabido que o uso de uma notação adequada é fundamental para o bom desenvolvimento de uma área da matemática. Por´em, a hist´oria nos ensina que nem sempre é fácil chegar a uma tal notação. Um bom exemplo vem dos próprios números naturais. A numeração indo-arábico que usamos ainda hoje começou a ser desenvolvida na Índia e a primeira referência ao princípio posicional aparece pela primeira vez na obra de Aryabhata chamada Aryabatiya, publicada em 499, onde encontramos a frase de lugar para lugar, cada um vale dez vezes o precedente. A primeira ocorrência de fato se dá num objeto do ano 595, onde a data 346 aparece em numeração posicional e o registro mais antigo do uso do número zero se acha numa inscrição indiana de 876 d.C.

A necessidade de uma notação mais sofisticada se manifestou pela primeira vez em relação á resolução de equações algébricas. Como já observamos, os egípcios resolviam equações de primeiro grau e algumas equações particulares do segundo grau, enquanto que os babilônios conheciam o método para resolver qualquer equação de segundo grau. Também os gregos resolviam este tipo de equações, por métodos geométricos mas, em todos os casos, não havia notações nem fórmulas gerais.

É no século IV d.C., na Aritmética de Diophanto, que encontramos pela primeira vez o uso de uma letra para representar a incógnita de uma equação, que o autor chamava o número do problema. Como os manuscritos originas de Diofanto não chegaram até nós, não sabemos com toda certeza quais os símbolos que ele usava, mas acredita-se que representava a incógnita pela letra &, uma variante da letra _ quando aparece no fim de uma palavra (por exemplo, em µ´o & – arithmos). Esta escolha se deve provavelmente ao fato de que, no sistema grego de numeração, as letras representavam também números conforme sua posição no alfabeto, mas a letra & não fazia parte do sistema e não correspondia, assim, a nenhum valor numérico particular.

Ele usava também nomes para designar as várias potências da incógnita, como quadrado, cubo, quadrado-quadrado (para a quarta potência), quadrado-cubo (para a quinta) e cubo-cubo (para a sexta). O uso de potências superiores a três é notável uma vez que, como os gregos se apoiavam em interpretações geométricas, tais potências não tinham um significado concreto. Porém, de um ponto de vista puramente aritmético, estas potências sim tem significado e esta era a postura adotada por Diofanto.

A partir de então, os métodos e notações de Diofanto foram se aperfeiçoando muito lentamente. Mesmo os símbolos hoje tão comuns para representar as operações demoraram a ser introduzidos. Muitos algebristas usavam p e m para representar a adição e a subtração por serem as iniciais das palavras latinas plus e minus. O símbolo = para representar a igualdade foi introduzido só em 1557 por Robert Recorde e não voltou a aparecer numa obra impressa até 1618. Autores como Kepler, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Pascal, Napier, Briggs e Fermat, entre outros, ainda usavam alguma forma retórica em vez de um símbolo, como as palavras e aqueles, escale, faciunt, gheljck ou a abreviatura aeq. Para uma história detalhada da evolução do simbolismo algébrico, o leitor pode consultar a referência clássica de F. Caburé [4].

A notação de expoentes ´e usada por Nicolas Chuquet (1445?-1500?) na sua Tripary, onde escreve expressões como 123, 103 e 1203 para representar o que hoje escreveríamos como 12×3, 10×3 e 120×3 e também 120 e 71m para 12×0 e 7x-1.

Os primeiros passos para a introdução do conceito de polinômio e seu uso para a formulação de problemas de resolução de equações foram dados por Simon Stevin (1548 – 1620). Nascido em Bruges, mudou para Leyden em 1582, foi tutor de Maurício de Nassau e serviu o exército holandês. Ele foi um defensor do sistema de Copérnico e o primeiro a discutir e sugerir o emprego de frações decimais (por oposição ao sistema sexagesimal defendido por outros), na sua obra mais conhecida De Thiende, publicada em Flamengo em 1585 e traduzida ao francês, sob o título Lá Disme, no mesmo ano.

Alí ele usou símbolos como Álgebra etc. para indicar as posi¸c˜oes das unidades, d´izimas, cent´esimas, respectivamente. Assim por exemplo, ele escreve 875, 782 como 875 Álgebra No restante do livro, ele estuda as opera¸c˜oes entre d´izimas e justifica as regras de c´alculo empregadas. O leitor interessado pode ver uma tradu¸c˜ao ao inglˆes de De Tiende em [28, pp. 20-34].

No seu livro seguinte, “L’ Arithmetique”, publicado em 1585, ele introduz uma nota¸c˜ao exponencial semelhante para denotar as v´arias potˆencias de uma vari´avel. As potˆencias que n´os escrever´iamos com x, x2 x3 etc. s˜ao denotadas por ele como Álgebra e assim, por exemplo, o polinˆomio 2×3 +4×2 +2x+5 se escreveria, na sua nota¸c˜ao como:

Álgebra

Ele denomina estas expressões de multinômios e mostra como operar com eles. Entre outras coisas, observa que as opera¸c˜oes com multinômios tem muitas propriedades em comum com as operações entre “números aritméticos”. Ainda, ele mostra que o algoritmo de Euclides pode ser usado para determinar o máximo divisor comum de dois “multinômios”. ´E interessante destacar aqui que nos encontramos frente a dois progressos notáveis na direção da abstração. De um lado temos a percepção, cada vez mais clara, de que os métodos de resolução de equações dependem unicamente do grau da equação e não dos valores dos coeficientes numéricos (vale lembrar que autores como Tartaglia, Cardano e outros, que se utilizavam apenas de coeficientes positivos, consideravam como problemas diferentes, por exemplo, as equações da forma X3 = aX +b e X3 +aX = b). Mais importante ainda, vemos que Stevin trata seus multinômios como novos objetos matemáticos e estuda as operações entre eles.

Mais interessante ainda é o trabalho de François Viète (1540 – 1603). Nascido em Fontenay-le Comte, teve formação de advogado e, nesta condição, serviu ao parlamento de Bretania em Rennes e foi banido de suas atividades, devido à oposição política, entre 1584 e 1589, quando foi chamado por Henri III para ser conselheiro do parlamento, em Tours. Nos anos em que esteve afastado da atividade política, dedicou-se ao estudo da matemática e, em particular, aos trabalhos de Diophanto, Cardano, Tartaglia, Bombelli e Stevin. Da leitura destes trabalhos ele teve a idéia de utilizar letras para representar quantidades. Isto já tinha sido feito no passado, até por autores como Euclides e Aristóteles, mas seu uso era pouco freqüente.

Sua principal contribuição à Álgebra aparece no seu livro In Artem Analyticam Isagoge – Introdução á Arte Analítica – impresso em 1591, onde trata das equações algébricas de um novo ponto de vista. Ele fez importantes progressos na notação e seu verdadeiro mérito está em ter usado letras não somente para representar a “incógnita”, mas também para representar os coeficientes ou quantidades conhecidas. Ele usava consoantes para representar quantidades conhecidas e reservava as vogais para representar as incógnitas. Deixamos Viète descrever a grande descoberta com suas próprias palavras.

Este trabalho pode ser ajudado por um certo artifício. Magnitudes dadas serão distinguidas das desconhecidas e requeridas por um simbolismo, uniforme e sempre fácil de perceber, como é possível designando as quantidades requeridas pela letra A ou por outras letras vogais A,I,O,V,Y e as dadas pelas letras B,G,D ou outras consoantes.

Assim por exemplo, a equa¸c˜ao que n´os escrever´iamos como Álgebra era representada por ele na forma:

B in A quadratum plus C plano in A aequalia D solido.

Como Viète pensava geometricamente, requeria, para suas equações, um princípio de homogeneidade, i.e., todos os termos de uma dada equação deveriam ter a mesma “dimensão”; assim por exemplo, todos os termos de uma equação quadrática, tal como a dada acima, deviam representar volumes. É por causa disso que o coeficiente da variável C ´e acompanhado do adjetivo plano, pois devia representar uma área. Da mesma forma, D ´e acompanhado do termo sólido para enfatizar que representa um volume. Uma restrição à generalidade de sua notação è que ele representava por letras apenas números positivos e, como muitos dos seus predecessores, não utilizava coeficientes negativos. John Hudde (1633 – 1704) foi o primeiro a usar, em 1657, letras para representar coeficientes que podiam ser tanto positivos quanto negativos.

Viète chamava sua álgebra simbólica de logística especiosa por oposição à logística numerosa, que trata dos números. ´E importante observar que Viète tinha plena consciência de que seu emprego de letras lhe permitia trabalhar com classes de equações, por oposição ao emprego de números, que permite apenas trabalhar com um exemplo de cada vez. Com isso ele tornou explícita a diferença entre álgebra e Aritmética: para ele, a Álgebra logística especiosa era um método para operar com espécies ou formas de coisas e a Aritmética logística numerosa – lidava apenas com números.

Também tentou “trabalhar algebricamente”, provando, por exemplo, as identidades que os gregos tinham exibido por métodos geométricos. Assim, no seu Zeteticorum Libri Quinque – Cinco Livros de An´alise2 – publicado em 1593, ele utiliza o método de “completar quadrados” numa equação de segundo grau e também encontramos ali identidades gerais do tipo:

Álgebra

que ele escreve na forma:

a cubus + b in a quad. 3 + a in b quad.3 + b cubo aequalia a + b cubo.

Após sua morte, seu amigo escocês Alexandre Anderson fez publicar, em 1615, num só volume, dois artigos de Viète escritos em torno de 1591, intitulados De aequationem recognitione e De aequationem emendationem.

Vièete não usava o termo Álgebra que, por ser de origem árabe, não considerava adequado para a Europa cristã; no seu lugar empregava o termo Análise que, devido talvez a sua influência, foi adotado depois como sinônimo de “Álgebra Superior”. Dois episódios ilustram muito bem o talento matemático de Viète e fama que chegou a desfrutar ainda durante sua vida Em 1593, o matemático belga Adriaen van Roomen (1561-1615) – ou Adrianus Romanus, na versão latinizada do seu nome – propôs “a todos os matemáticos” o problema de resolver uma determinada equação de grau 45, do tipo:

Álgebra

O embaixador dos Países Baixos na corte de França afirmou então que nenhum matemático francês seria capaz de resolver esta equação. O rei, Henrique IV, fez Vi`ete saber deste desafio e ele notou que a equação proposta resultava de expressar a igualdade K = sen(45._) em termos de x = sen _ e conseguiu achar, nessa primeira audiência, uma raiz positiva. No dia seguinte, ele achou todas as 23 raízes positivas da equação. Van Roomen ficou tão impressionado que fez uma visita especial a Viete. Este publicou sua solução em 1595, num tratado intitulado Ad problema, quod omnibus mathematicis totius orbis construendum propusuit Adrianus Pomanus, responsum.

Outro episódio que ilustra sua extraordinária capacidade ´e o seguinte. Durante a guerra com a Espanha, ainda a serviço de Henrique IV, ele pode decifrar o código utilizado pelos espanhóis a partir de cartas que foram interceptadas e, dali em diante, conhecer o conteúdo de novas cartas escritas nesse código. Os espanhóis achavam seu código tão difícil de ser quebrado, que acusaram a França, perante o Papa, de usar feitiçaria.

O uso de letras para representar classes de números e assim tratar das equações de forma mais geral demorou a ser aceito. Um aperfeicoamento desta notação foi devido a René Descartes (1596-1650) que, na sua obra intitulada utiliza pela primeira vez a prática hoje usual de utilizar as primeiras letras do alfabeto para representar quantidades conhecidas e as ´ultimas, como x,y z para as incógnitas. ´E precisamente nesta obra que Descartes apresenta as idéias que deram origem `a Geometria Analítica, junto com as contribuições de Pierre de Fermat. Esse texto não foi apresentado como um livro independente mas como um apêndice da obra pela que seria mais conhecido, o Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la v´erit´e dans les sci´ences, em 16374 A obra foi publicada em francês e não latim, que era a linguagem científica universal da época. Frans Van Schooten (1615-1660), um matemático holandês, publicou em 1649, em Leyden, uma tradução ao latim que incluía material suplementar e que foi ampliada a dois volumes em 1654-1661. Foi devido a esta publicação e a ação de Von Schooten e seus discípulos que a geometria cartesiana se desenvolveu rapidamente.

O progresso final, em relação ao uso da notação consistiu em usar uma letra também para representar o grau de uma equação. Nossa notação moderna que utiliza expoentes negativos e fracionários foi introduzida por Isaac Newton (1642-1727) numa carta dirigida a Oldenburg, então secretário da Royal Society, em 13 de junho de 1676, onde diz:

Álgebra

Também sua fórmula para o binômio foi anunciada nesta carta, usando letras para representar inclusive expoentes racionais. Antes de Newton, já JohnWallis (1616-1703) tinha usado expoentes literais, em 1657, em expressões tais como Álgebra ao tratar de progressões geométricas.

O primeiro a usar o símbolo + tal como o conhecemos foi Robert Recorde (1510-1558), que em 1557 publicou o primeiro texto de álgebra da Inglaterra, chamado The Whetstone of Witte. Ali ele introduz o s´imbolo dizendo:

I will sette as I doe often in woorke vse, a pair of paralleles or Gemowe 5lines, of one length, thus :=, bicause no .2 thynges, can be moare equalle.

(Usarei, como faço frequentemente no trabalho, um par de linhas paralelas, do mesmo comprimento assim :=, porque duas coisas não podem ser mais iguais).

Este símbolo não foi incorporado rapidamente; como vimos, Viéete, usava ainda, em 1589, a expressão aequalis e, mais tarde, o símbolo _. Descartes, em 1637, usava / que provavelmente deriva de ae, usado como abreviatura de aequalis. Incidentalmente, vale a pena mencionar que os símbolos + e – hoje usados para denotar adição e subtração respectivamente aparecem impressos pela primeira vez num texto de Johannes Widman, professor da Universidade de Leipzig nascido em torno de 1460. O sinal + deriva, aparentemente da palavra latina et, usada em vários manuscritos para designar a adição e o sinal – da letra m que, como vimos, era usada para abreviar minus. Eles são usados uma aritmética comercial intitulada Rechenung auff allen Kauffmanschafft que publicou em 1489, mas estes sinais já aparecem em notas manuscritas de um aluno seu de 1486 que se conservam na biblioteca de Dresden (Codex Lips 1470). Eles foram aceitos gradativamente e já Boaventura Cavalieri, um discípulo de Galileo, na sua Exercitationes Geometricae Sex de 1647 os usa como se fossem familiares ao leitor.

Álgebra

Capítulo 2

Os campos numéricos

2.1 Introdução

As origens da noção de número ou operação são tão antigas quanto a própria cultura humana. Parece claro que os números naturais; i.e., os elementos da seqüência 0, 1, 2, 3, . . . desenvolveram-se a partir da experiência cotidiana e os seu emprego foi generalizando-se gradativamente. Algo análogo aconteceu com os números racionais não negativos; i.e., os números da forma a/b, onde a e b são números naturais. Já encontramos o uso destes números no Egito, na Babilônia, e os gregos fizeram deles usos muito sofisticados.

Algo bem diferente aconteceu com os números negativos. O primeiro uso conhecido dos inteiros negativos encontra-se numa obra indiana, devida a Brahmagupta, de 628 d.C. aproximadamente, onde são interpretados como dividas. Desde seu aparecimento, eles suscitaram duvidas quanto a sua legitimidade. Assim por exemplo, Stifel em 1543 ainda os chama de números absurdos e Cardano, de quem nos ocuparemos adiante, os considerava soluções falsas de uma equação.

Uma coisa semelhante aconteceu com os números irracionais; isto é, aqueles que não podem ser escritos na forma a/b com a e b números inteiros; por exemplo, os números que hoje representamos como Álgebra Já na época dos pitagoricos, no século VI a.C. se sabia da existência de segmentos cuja medida não era um numero racional: dado um quadrado de lado 1, pode se provar facilmente que sua diagonal de ter medida igual a Álgebra Para autores como Pascal e Barrow, símbolos tais como representavam apenas magnitudes geométricas que não tinham existência independente, e cuja medida apenas podia ser aproximada por números racionais. Tal é também o ponto de vista assumido por Newton na sua Arithmeica Universalis, publicada em 1707.

Quando a ciência européia ainda não tinha clara a validade do emprego dos números negativos ou dos irracionais, irromperam no mundo matemático os números que hoje chamamos de complexos. O fato de que um numero negativo não tem raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com a questão.

A rigor, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto; assim, se no processo de resolução aparecia uma raiz quadrada de um numero negativo, isto era interpretado apenas como uma indicação de que o problema originalmente proposto não tinha solução. Como veremos, foram só as equações de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar com estes números. Vejamos inicialmente alguns antecedentes. Um primeiro exemplo desta atitude aparece na Arithmetica de Diophanto. Aproximadamente no ano de 275 d.c. ele considera o seguinte problema:

Um triangulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados. Chamando x e y o comprimento dos catetos desse triangulo temos, na nossa notação atual:

Álgebra

Substituindo y em função de x obtemos a equação:

Álgebra

cujas raízes são:

Álgebra

Neste ponto Diophanto observa que só poderia haver solução se Álgebra24×336. Neste contexto, é claro que não há necessidade alguma de introduzir um sentido para a expressãoÁlgebra

Na verdade, a primeira aparição escrita de um radical de um numero negativo é um pouco anterior: ele aparece na Estereometria de Heron, matem atiço grego do período Alexandrino, publicada aproximadamente em 75 d.c.. Num calculo sobre o desenho de uma pirâmide aparece a necessidade de avaliar Álgebra A questão parece não causar nenhum problema simplesmente porque logo em seguida os números aparecem trocados como Álgebra que é calculado aproximadamente como Álgebra Novas referencias a questão aparecem na matemática indiana. Aproximadamente no ano 850 d.c., o matemático indiano Mahavira afirma:

. . . como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem portanto raiz quadrada.

Já no século XII o famoso matemático Bhascara (1114-1185 aprox.) escreve:

O quadrado de um afirmativo é afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo ´e dupla: positiva e negativa. Não ha. raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado.

Também na matemática européia aparecem observações desta natureza; Luca Paccioli, na sua Summa di Arithmetica Geometria, publicada em 1494, escreve que a equação Álgebra é solúvel somente se Álgebra c e o matemático francês Nicolas Chuquet (1445-1500 aprox.) faz observações semelhantes sobre “soluções impossíveis” num manuscrito não publicado de 1484. O próprio Cardano se deparou com este tipo de questões e, embora mantivesse a atitude dos seus contemporâneos, no sentido de entender que raízes de números negativos indicavam apenas a não existência de soluções de um determinado problema, pelos menos num caso ele deu um passo a mais.

No Capitulo 37 do Ars Magna ele considera o problema de dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.

Álgebra

Se chamamos de x o comprimento de uma das partes, a outra terá comprimento 10 – x e a condição do problema se traduz na equação:

x(10 – x) = 40.

Isto leva a equação Álgebra cujas soluções são Álgebra Ele reconhece que o problema dado não tem solução mas, talvez a titulo de curiosidade, ele observa que trabalhando com essas expressões como se fossem números, deixando de lado as torturas mentais envolvidas e multiplicando.Álgebra

Em conseqüência, ele chama estas expressões de raízes sofisticas da equação e diz, a respeito delas, que são tão sutis quanto inúteis.

A necessidade dos números complexos

Raphael Bombelli (1526-1573) era um admirador da Ars Magna de Cardano, mas achava que seu estilo de exposição não era claro (ou, em suas próprias palavras: ma nel dire fu oscuro). Decidiu então escrever um livro, expondo os mesmos assuntos, mas de forma tal que um principiante pudesse estuda-los sem necessidade de nenhuma outra referencia. Publicou então uma obra que viria a se tornar muito influente, sob o titulo de l’Algebra, em três volumes, em 1572, em Veneza. No capitulo II desta obra, ele estuda a resolução de equações de grau não superior a quatro. Em particular na pagina 294 e seguintes, ele considera a equação Álgebra 15x + 4.

Ao aplicar a formula de Cardano para o calculo de uma raiz, ele obtém:

Álgebra

Seguindo Cardano, ele também chama esta expressão de sofistica mas, por outro lado, ele percebe que x = 4 ´e, de fato, uma raiz da equação proposta. Assim, pela primeira vez, nos deparamos com uma situação em que, apesar de termos radicais de números negativos, existe verdadeiramente uma solução da equação proposta. ´E necessário então compreender o que esta acontecendo.

Bombelli concebe então a possibilidade de que exista uma expressão da forma Álgebra que possa ser considerada como raiz cúbica de Álgebra i.e., que verifique Álgebra A forma em que ele calcula esta raiz é um tanto peculiar; ele assume que a raiz cúbica de Álgebra seja da forma Álgebra Como ele sabe que 4 deve ser raiz da equação, tem que Álgebra Neste ponto felizmente as quantidades não existentes se cancelam e obtemos a = 2. Com esse resultado, é muito fácil voltar á equação Álgebra e deduzir que b = 1. Assim, ele obtem que

Álgebra

é uma solução da equação dada. Claro que este método não é verdadeiramente útil para resolver equações, pois para o calculo da raiz cúbica foi necessário conhecer de antemão a solução, mas tem o mérito de explicar como se pode obter a solução apesar de aparecer, no caminho, uma raiz quadrada de um numero negativo.

Bombelli percebeu claramente a importância deste achado. Ele diz:

Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente das outras, que aparece no capitulo sobre o cubo igual a uma quantidade e um numero. . . .A principio, a coisa toda me pareceu mais baseada em sofismas que na verdade, mas eu procurei ate que achei uma prova.

O caso em que Álgebra era chamado na época de casus irreducibilis porque qualquer tentativa de calcular de fato o valor da incógnita pela formula de Cardano-Tartaglia, sem conhece-lo antecipadamente leva, de novo, `a equação de terceiro grau original. Porem, este era, em certo sentido, o mais importante de todos, pois ´e justamente o caso em que a equação considerada tem três raízes reais. Bombelli justifica seu estudo dizendo:

Isto pode parecer muito sofisticado mas, na realidade, eu tinha essa opinião, e não pude achar a demonstração por meio de linhas [i.e. geometricamente], assim, tratarei da multiplicação dando as regras para mais e menos.

Ele utiliza a expressão piu di meno para se referir ao que nos denotaríamos como +i e meno di meno para -i. Ele enuncia então o que chama de regras do produto:

Piu via piu di meno fa piu di meno,
Meno via piu di meno fa meno di meno,
Piu via meno di meno fa meno di meno,
Meno via meno di meno fa piu di meno,
Pi`u di meno via piu di meno fa meno,
Meno di meno via piu di meno fa piu,
Meno di meno via meno di meno fa meno.

Literalmente, isto significa:

Álgebra

Interessante notar que Bombelli se deparava com a dificuldade adicional de não dispor de uma boa notação. Ele utilizava p (plus) para indicar a soma; m (minus) para a subtração; R (radix) para raiz quadrada e R3 para a raiz cúbica. Também não dispunha de parênteses; nos seus manuscritos sublinhava expressões para indicar quais os termos afetados por um radical. Assim por exemplo, a expressão Álgebraera escrita na forma.

Álgebra

Note que, como não escrevia diretamente números negativos, ele escreve -121 como 0m121. Desta forma, a solução da equação discutida acima aparecia como:

Álgebra

Também é interessante observar que Bombelli não empregava símbolo para igualdade; desta forma, a equação em apreço era escrita como:

Álgebra

Álgebra

Progressos Ulteriores

Faremos aqui um pequeno resumo da evolução dos números complexos, para que o leitor tenha uma visão global da historia do assunto. Come¸caremos listando alguns progressos na notação para depois nos ocuparmos da evolução dos conhecimentos.

O símbolo Álgebra foi introduzido em 1629 por Albert Girard.

O símbolo i foi usado pela primeira vez para representar Álgebra por Leonhard Euler em 1777, apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou amplamente aceito apos seu uso por Carl Friederich Gauss em 1801.

Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637.

A expressão numero complexo foi introduzida por Gauss em 1832.

Como observamos na seção anterior, a partir do trabalho de Bombelli, os números complexos come¸caram a ser utilizados devido a sua obvia utilidade para resolver equações de terceiro grau mas, ao mesmo tempo, era claro que tais números não poderiam existir. A primeira tentativa de legitimação, via uma “interpretação geométrica”, ´e devida a John Wallis (1616 – 1703), contemporâneo de Newton e professor na Universidade de Oxford. Em 1673 ele publicou um tratado intitulado Álgebra, em cujo capitulo LXVI discute a impossibilidade da existência de quantidades imaginarias e compara esta questão com a da existência de quantidades negativas:

Depois de considerar diversos exemplos de números negativos interpretados em termos de segmentos sobre uma reta orientada, ele tenta uma interpretação para as quantidades imaginarias:

Agora, o que ´e admitido para linhas, deve, pela mesma razão, ser permitido também para planos. Por exemplo: suponhamos que num local ganhamos do mar 30 acres, mas perdemos em outro local 20 acres: se agora formos perguntados quantos acres ganhamos ao todo a resposta ´e 10 acres, ou +10 (pois 30 – 20 = 10).

. . .Mas se num terceiro local perdemos mais 20 acres, a resposta deve ser -10 (pois 30 – 20 – 20 = -10) . . . .

Mas agora, supondo que esta planície negativa de -1600 square perches [20 acres correspondem a 1600 square perches, uma outra medida inglesa da época] tem a forma de um quadrado, não devemos supor que este quadrado tem um lado? E assim, qual será esse lado?

Não podemos dizer que ´e 40 e nem -40 . . .Mas sim que é Álgebra (a suposta raiz de um quadrado negativo) ou Álgebra ou Álgebra

Como era de se esperar, esta interpretação não teve uma grande acolhida entre seus contemporâneos e nenhuma repercussão posterior.

Notemos que, no trabalho de Bombelli, este assume qual a raiz cúbica de um complexo ´e outro numero complexo e, partindo desta suposição e, aceitando implicitamente que as operações entre complexos tem as mesmas propriedades que as operações com reais, ele a calcula em certos casos particulares. Notemos que, ate aqui, nada garante que raízes cúbicas – ou, em geral raízes n-ésimas de complexos – são, de fato, complexos.

Tal como assinala M. Kline [13, pag. 595], no começo do século XVIII a maioria dos matemáticos ainda acreditava que raízes de diferente ordem de números complexos levariam `a introdução de diferentes tipos de complexos.

Abraham De Moivre (1667 – 1754) nasceu na Franca, mas viveu na Inglaterra a partir dos dezoito anos, quando o Edicto de Nantes, que protegia os Hugonotes, foi revogado. Estudou matemática sozinho, apos ler os Principia de Newton, chegando a se tornar membro de Royal Society e das academias de Paris e Berlim. Seu trabalho versou fundamentalmente sobre trigonometria, probabilidade e calculo de anuidades. Em 1722, utilizando fatos que já havia publicado em 1707, ele obteve um resultado que implica na formula que leva seu nome e que diz como calcular a raiz n-ésima de um numero complexo, que ele escreveu em casos particulares. Porem, ele nunca chegou a enuncia-la ou a demonstra-la no caso geral.

Esta tarefa coube a Leonhard Euler (1707 – 1754), considerado o mais prol´ifico matem´atico de todos os tempos. Numa carta endereçada a Jean Bernoulli, datada em 18 de outubro de 1740, ele afirma que Álgebra e Álgebra eram ambas soluções da mesma equação diferencial (o que reconheceu através do desenvolvimento em serie das soluções) e que, portanto, deviam ser iguais. Publicou este resultado em 1743; explicitamente:

Álgebra

Em 1748 ele demonstrou a formula de De Moivre e estendeu sua validade para todo expoente n real. Com isso, a existência de raízes no campo complexo ficou definitivamente estabelecida. Obviamente, Euler compreendia e utilizava muito bem os números complexos. O fato de ele próprio ter grandes duvidas quanto a sua legitimidade ilustra claramente o status deste corpo numérico na época. Diz ele na sua Vollstandige Anleitung zur Algebra publicada primeiro em russo em 1768-69 e depois em alemão em 1770 e que se tornou uma referencia clássica nesta área pelos próximos dois séculos:

Desde que todos os números concebíveis são maiores do que 0, ou menores do que 0 ou iguais a 0, ´e claro que a raiz quadrada de um numero negativo não pode ser incluída entre os números possíveis. Consequentemente, devemos dizer que estes são números impossíveis. E esta circunstancia nos conduz a tais números, que por sua natureza são impossíveis, e que são chamados costumeiramente de imaginários, pois eles só existem na imaginação.

O Teorema Fundamental da Álgebra

A questão de resolver equações por radicais se tornou um problema central na álgebra, especialmente a partir do século XIV. Note que o fato de se ter uma formula para resolver equações de um determinado grau pode não ser muito útil, do ponto de vista pratico. Basta observar a formula de Cardano-Tartaglia para perceber que, salvo alguns casos particulares em que os coeficientes são especialmente simples, a aplicação da formula implica em calcular raízes quadradas e cúbicas, que certamente deverão ser aproximadas. As raízes reais destas equações podem ser calculadas mais facilmente e com uma aproximação melhor usando os métodos do calculo (por exemplo, o método de Newton, ou de Role).

A razão deste interesse e mais teórica. Tendo em vista a formula de De Moivre, provada por Euler, resultas claro que se uma equação pode ser resolvida mediante operações algébricas e radicais, então suas soluções serão seguramente números complexos e isso mostraria que novas ampliações dos campos numéricos não se fazem necessárias. Parecia natural se provar que uma equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes.

Ainda, um tal resultado seria útil pois o uso do método da decomposição em frações parciais para integrar quocientes de polinômios levou naturalmente a questão de decidir se todo polinômio com coeficientes reais pode, ou não, se escrever como o produto de fatores lineares e fatores quadráticos, com coeficientes também reais.

E interessante observar que nem todos os matemáticos acharam isso possível. Já num artigo publicado em 1702, no Acta Erudictorum, Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716), um dos criadores do calculo, achou que tinha um contra-exemplo; o polinômio Álgebra que ele decompunha como:

Álgebra

e afirmava que o produto de dois quaisquer destes fatores não dava uma expressão quadrática com coeficientes reais. Nicholas Bernoulli (1687- 1759) corrigiu esta observação em 1719, na mesma revista, mostrando que

Álgebra

Por outro lado Euler afirmou explicitamente numa carta de 1 de outubro de 1742, dirigida a N. Bernoulli que um polinômio com coeficientes reais, de grau arbitrário, podia se decompor dessa forma. Este também não acreditou na afirmação e deu como contra-exemplo o polinômio

Álgebra

cujas raizes são

Álgebra

que ele acreditava, contradizera a afirmação de Euler.

Numa carta dirigida a Christian Goldbach (1690-1764), em 13 de dezembro de 1742, Euler observou se um polinômio com coeficientes reais tem uma raiz complexa Álgebra também tem a conjugada Álgebrae que o produto

Álgebra

é uma expressão quadrática com coeficientes reais, o que aponta na direção do resultado pretendido. Euler também observa que isso ´e verdade para o aparente contra-exemplo de Bernoulli.

Goldbach não acreditou na afirmação de Euler e propôs como contra exemplo o polinômio Álgebra Euler então mostrou a Goldbach que ele tinha cometido um erro e provou o resultado para polinômios de grau menor o igual a 6.

Apos a observação de Euler acima, a questão da fatoração de um polinômio fica reduzida a provar a existência de raízes, uma vez que o resto ´e uma conseqüência elementar. Este resultado ´e hoje conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra:

Todo polinômio com coeficientes reais admite pelo menos uma raiz complexa

Jean Le Rond d’Alembert (1717 – 1783) foi encontrado abandonado na porta da igreja de St. Jean Le Rond, na noite de 16 de novembro de 1717, com cujo nome foi batizado e foi criado por pais adotivos. Apos estudar direito e medicina, decidiu dedicar sua vida à matemática. Trabalhou em álgebra, calculo e sua aplicações, equações diferenciais ordinárias e parcias, funções de vari´avel complexa, mecânica e dinâmica. Ele foi o primeiro a fazer uma tentativa de provar o teorema fundamental da álgebra, em 1746. Sua idéia consiste em, dado um polinômio com coeficientes reais f, determinar números reais b e c tais que f(b) = c. Então, ele prova que existem complexos z1 e w1 cujo modulo e menor que o modulo de c. Depois ele itera este processo para obter uma seqüência que converge a uma raiz de f. Sua prova tem diversas falhas, mas as idéias nela envolvidas são interessantes.

A próxima tentativa seria e devida a Euler que, em 1749, no seu Recherches sur les racines imaginaires des ´equations, prova inicialmente que um polinômio Mônico de grau 2n pode-se decompor como o produto de dois polinômios monicos de grau 2n-1. Como todo polinômio pode-se transformar num polinômio desta forma, multiplicando por um fator da forma axm, com a e m adequados, aplicando uma recorrência baseada no resultado mencionado, o problema estaria resolvido. Infelizmente, Euler provou a existência de uma tal decomposição com detalhes, para polinômios de grau 4 mas, no caso geral, deu apenas o esboço de uma prova.

Em 1772, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) deu um longo argumento, baseado no seu trabalho com permutações, tentando ‘completar’ a prova de Euler. Porem, de certa forma, Lagrange assumia que existiam de fato n raízes e que tinham as propriedades dos números, com isso chegando a provar que as raízes eram números complexos.

Finalmente, a primeira prova realmente completa do Teorema Fundamental da Álgebra foi dada por Carl Friederich Gauss (1777-1855) na sua tese de doutoramento, em 1799, intitulada Nova demonstração do teorema que toda função algébrica racional inteira de uma variável pode ser decomposta em fatores reais de primeiro e segundo grau. Como observaram diversos autores, a ´unica incorreção da tese esta no titulo, uma vez que não se trata de uma nova demonstração mas da primeira demonstração realmente correta de tal fato.

Ele começa fazendo um estudo critico das provas anteriores, e apontando as falhas fundamentais de cada uma destas. De Euler, por exemplo, ele diz

se a gente faz operações com estas raízes impossíveis, como se elas realmente existissem, e diz, por exemplo, que a soma de todas as raízes do polinômio Álgebra é igual a -a embora algumas delas possam ser impossíveis (o que realmente significa: se algumas delas são não existentes e estão, portanto, faltando), então eu só posso dizer que eu desaprovo completamente este argumento.

Mesmo a prova de Gauss, que usa propriedades do tipo “topológico” não pareceria completamente rigorosa ao leitor moderno pois, embora o argumento seja altamente original, ele depende de determinar a interseção de duas curvas. A prova, porem, esta substancialmente correta e nos resulta totalmente satisfatória quando a parte “analítica” é feita com o rigor que a que hoje estamos acostumados e que seria introduzido no século seguinte. Ao longo de sua vida, Gauss deu mais três provas diferentes deste teorema. Estas e outras demonstrações hoje conhecidas podem-se ver num texto totalmente dedicado ao assunto.

Capitulo 3

A abstração em álgebra

3.1 Introdução

Pode-se dizer que o século XIX foi um dos períodos aureos da matemática e, em certo sentido, um dos mais revolucionários desta ciência. Ate o inicio deste século, a matemática era definida como a ciência da quantidade e das extensão, sendo estas expressões claras referencias a aritmética e `a geometria, respectivamente. Em 1829, Lobachevsky tornou publico o novo mundo da geometria não-euclidiana, liberando assim a geometria da dependência do mundo sensorial. A partir de 1830, com a publicação da obra de Peacock, a álgebra por sua vez, liberou-se de sua dependência da aritmética. ´E precisamente esta ´ultima historia que estudaremos neste capitulo.

A profunda mudança no caractere da álgebra se deu na Inglaterra, sob condições muito particulares. A disputa entre Newton e Leibinz pela prioridade na descoberta do calculo, em fins do século XVII e inícios do século XVIII, se extendeu rapidamente a todos os matemáticos da época. Os ingleses, naturalmente, respaldaram Newton enquanto os matemáticos do continente se alinharam com Leibniz. Isto criou uma separação entre ambas comunidades cientificas e elas seguiram caminhos diferentes.

Como o calculo de Leibniz usava um simbolismo mais adequado, foi mais fácil desenvolver este ramo da ciência no continente e assim, a historia nos ensina que, por um período de mais de um século, os desenvolvimentos significativos do calculo se deram na Europa continental.

O isolamento britânico levou a que seus matemáticos só trabalhassem naquilo que os interessava particularmente, não estando atrelados ao que acontecia no continente. Isso teve a conseqüência negativa de que o calculo se desenvolveu ali de forma bem mais vagarosa. Ainda, como utilizava o simbolismo mais pesado devido a Newton, ele era apresentado de uma forma tal que sua compreensão resultava difícil para os estudantes. Por outro lado, este mesmo isolamento teve, como conseqüência positiva, a grande originalidade dos trabalhos ingleses da época.

O apego à aritmética universal

Como já mencionamos, a aritmética tinha-se desenvolvido sobre bases que os matemáticos da época consideravem bem menos sólidas que as da geometria. Os números negativos eram definidos com quantidades menores do que nada ou como as quantidades obtidas pela subtração de uma quantidade maior de uma quantidade menor. Uma vez que a subtração era definida como a retirada de uma quantidade de outra, também esta segunda definição era obviamente auto-contraditoria. Tentava-se justificar estes números através de analogias com débitos, ou com diferentes sentidos numa reta.

No fim do século XVIII, dois professores da Universidade de Cambridge, Francis Masers (1731-1824) e William Frend, propuseram o abandono total dos números negativos, alegando precisamente a falta de uma definição adequada, o que fazia com que os resultados que envolviam estes números tivessem pouco valor e levantava duvidas quanto `a legitimidade da álgebra como ciência. A esse respeito, Frend escreveu:

Quando alguém não pode explicar os princípios de uma ciência sem referencia a metáforas, é provável que ele não tenha pensado profundamente no assunto.

Masers, em 1800, foi ainda mais enfático:

A ciência da álgebra ou aritmética universal foi desgraçada e tornada obscura, triste e difícil para os homens com gosto pelo raciocínio acurado e claro.

Eles propunham assim reduzir a álgebra à aritmética universal; isto é, a uma ciência onde as letras representam apenas números positivos e os sinais + e – apenas operações aritméticas. É claro que, rejeitando o uso dos números negativos rejeitavam também as possíveis raízes complexas das equações e, com isso, toda a teoria de equações desenvolvida no século XVIII que culminou no Teorema Fundamental da Álgebra, de Gauss, em 1799.

Masers argumentava, por exemplo, que equações do tipo Álgebra só tinham uma raiz. Ele considerou o exemplo concreto da equação Álgebra afirmando que só 3 era uma raiz e que o valor -5 não devia ser considerado. Por outro lado, observou que 5 é raiz de Álgebra e que

Álgebra

são afirmações diferente, que nao pode derivar das condições de um mesmo problema.

E claro que outros matemáticos da época relutavam em abandonar os números negativos, levando em consideração a sua aplicabilidade. Argumentavam que, em vez de abandona-los, era necessário procurar sua adequada fundamentação. Assim por exemplo Robert Woodhouse (1773-1827), um matemático e físico experimental da mesma Universidade de Cambridge, defendeu em 1801, perante a Royal Society, o seguinte ponto de vista:

Realmente, uma quantidade negativa abstrata é ininteligível, mas operações com quaisquer caráter ou sinais levam a resultados corretos. Tais operações devem ser validas em virtude de algum principio ou outro.

Em 1806, também Buee um imigrante francês que morava em Londres, sugiriu que existem dois tipos de álgebra:

A aritmética universal, uma linguagem onde os símbolos + e – representam unicamente as operação aritméticas de adição e subtração.

Uma longa matemática (une longue mathematique), ou seja, uma linguagem na qual os símbolos + e – representam também “qualidades”. Assim, um numero seria a combinação de uma quantidade e uma qualidade.

Desta forma, quando alguém diz que um numero é menor do que zero, isso faria sentido pois não é a quantidade que é menos do que nada, mas a qualidade que é inferior à nulidade e exemplifica:

Se meus débitos excedem meus ganhos, eu sou mais pobre do que se não tivesse ganhos nem débitos.

A álgebra abstrata

O processo que levou a introdução de um ponto de vista verdadeiramente abstrato em álgebra teve inicio em 1815, quando vários matemáticos da Universidade de Cambridge, como Charles Babbage (1792-1871), George Peacock (1791-1858) e John Herschel (1792-1878) fundaram a Analytical Society, uma sociedade cuja finalidade imediata era reformar o ensino do calculo, adotando as notações em uso no continente. Porem, sua contribuição fundamental foi repensar e discutir os fundamentos da álgebra.

Em 1830, Peacock publicou seu Treatise on Algebra onde tenta dar a esta disciplina uma estrutura lógica comparável à dada a geometria nos Elementos de Euclides; isto e, apresenta-la como o desenvolvimento abstrato das conseqüências de um certo conjunto de postulados. A obra, que fora ampliada a dois volumes ate 1845, marca o verdadeiro inicio do pensamento axiomático em álgebra. No primeiro volume, Peacock tenta exibir as leis fundamentais da aritmética, trabalhando apenas com números e dando aos símbolos + e – apenas o seu significado ordinário. No segundo volume, desenvolve uma “´Algebra Simbólica” e as mesmas regras são aplicadas a símbolos sem conteúdo especifico. Para ele, a álgebra era a ciência que trata das combinações de símbolos arbitrários cujo sentido ´e definido através de leis de combinação também arbitrarias. Na aritmética, as definições das operações determinam as regras. Na álgebra simbólica, são as regras que determinam o sentido das operações.

No inicio da obra, que ele pretendia que fosse perfeitamente acessível aos estudantes, argumentava que a aritmética universal de Masers e Frend não podia ser aceita no lugar da álgebra por ser a primeira muito restrita e haver, na segunda, grande quantidade de resultados e proposições de valor e consistência inquestionável. Também criticou o ensaio de Bouee, por considerar que apelava por demais `as interpretações geométricas e propunha soluções muito vaga.

Augusto de Morgan (1806-1871), na sua Trigonometry and Double Algebra, publicada também em 1830, assume o mesmo ponto de vista, deixando os símbolos sem significação preestabelecida e, como ele mesmo diz, letras como A e B poderiam representar, por exemplo, virtudes ou vícios, e os símbolos + e – recompensas ou castigos. De Morgan descreve suas colocações de um ponto de vista muito próximo das idéias modernas:

Com uma única exceção, nenhuma palavra ou sinal em aritmética tem um átomo de significado neste capitulo, cujo assunto são símbolos e suas leis de combinação, dando uma álgebra simbólica que pode tornar-se a gramática de cem álgebras diferentes e significativas

Embora Peacock e De Morgan tenham de fato explicitado o ponto de vista abstrato em álgebra, sua apresentação tem ainda uma limitação. Os axiomas que eles utilizam são aqueles abstraídos da aritmética. Eles nao perceberam que a escolha poderia ser feita livremente, tornando a álgebra independente da experiência aritmética, tal como a geometria não euclidiana tinha se tornado independente da experiência sensorial, com a adoção de axiomas que não são “verdades evidentes”. Este ´ultimo passo seria inspirado pelo desenvolvimento dos quaternios, devido a Hamilton, de que trataremos no próximo capitulo.

Álgebra

Capitulo 4

A descoberta dos quaternios

4.1 Números Complexos.

Foi no período de intensa atividade na direção de uma crescente abstração, de que tratamos no capitulo anterior, que um notável matemático irlandês, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), deu a fundamentação definitiva dos números complexos como pares ordenados de números reais, tal como ´e apresentada atualmente.

Hamilton foi uma criança prodígio; aos três anos de idade lia perfeitamente inglês e aprendeu os rudimentos da aritmética. Aos quatro aprendeu geografia, aos cinco sabia latim e hebraico e ate os dez anos de idade aprendeu italiano, francês, árabe, sânscrito, persa, caldeu e varias línguas orientais. Aos doze interessou-se por matemática. Estudou então a Álgebra Universalis de Newton e, antes dos dezessete, estudou a monumental Mecanique C´eleste de Laplace na qual descobriu um erro e publicou a correção correspondente.

Ele fez importantes contribuições à física e à astronomia mas nos interessa aqui ocuparmo-nos de suas idéias matemáticas. Em 1833, aos 28 anos de idade, publicou Conjugate Functions and on Algebra as the Science of Pure Time. Nesse trabalho estabelece sua visão da Álgebra como ciência. Na sua opinião a Álgebra devia ser mais que uma linguagem; o fato de a Álgebra ser uma ciência significava, para ele, que seus teoremas devem ser verdadeiros e não apenas demonstráveis a partir de certas premissas; isto ´e, na sua visão, eles devem ter uma conexão com a realidade.

Ele acreditava que a intuição do tempo esta mais profundamente enraizada na mente humana que a do espaço e que esta deveria servir para fundamentar a Algebra; mais ainda, acreditava que as idéias básicas sobre o tempo são aquelas de ordem e progressão. Assim, ele introduziu o conceito de transição, que a cada par de momentos (a,b) associa uma transição T tal que T(a) = b.

Sua visão sobre a ´Algebra, como ele mesmo reconhece, estava inspirada na Critica da Razão Pura de Kant. Mais tarde abandonaria este ponto de vista para aderir `a visão mais formalista da escola inglesa. Por exemplo, em 1846 escreveu a Peacock:

Minhas opiniões a respeito da natureza, extensão e importância da ciência simbólica podem ter se aproximado gradualmente das suas; e esta aproximação pode se dever principalmente à influencia de seus escritos e conversação.

Esta discussão, de cunho filosófico, infelizmente escapa ao nosso assunto, mas o leitor interessado poderá consultar Winterbourne [34] e Ohstrom [16].

Sua reformulação da teoria dos números complexos parte de uma observação muito simples; ele nota que a expressão a + bi nao denota uma soma genuína, do mesmo tipo que 2+3 e afirma que o uso do sinal + ´e um acidente histórico e, certamente, bi não pode ser adicionado a . Assim, percebe que escrever um número complexo na forma a + bi não ´e mais do que dar o par ordenado de números reais (a,b). A partir desta observação, Hamilton desenvolve a teoria formalmente, definindo soma e produto de pares da forma que hoje nos ´e tão familiar:

Álgebra

Vale a pena observar que já neste trabalho Hamilton adota um ponto de vista formal. Ele diz:

Um fato interessante, que mostra claramente ate que ponto era difícil para a coletividade matemática aceitar os números complexos ´e o seguinte. Vários anos depois da fundamentação dada por Hamilton, Agustin Louis Cauchy (1789 – 1857) deu, em 1847, uma outra construção do corpo dos números complexos. Ele observou que, se no anel dos polinômios reais Álgebra se consideram congruências modulo o polinômio Álgebra então todo polinômio f(X) ´e congruente a um polinômio da forma aX+b (porque o resto da divisão por Álgebra deve ser, no Maximo, de primeiro grau) e que classes de restos, neste caso, se somam e multiplicam seguindo exatamente as mesmas regras que os números complexos. Mais ainda, tem-se que

Álgebra

Desta forma, ele exibiu um sistema algébrico isomorfo ao corpo dos números complexos. O interessante ´e como ele explica as vantagens deste método, que mostra ate que ponto a idéia de ter uma raiz quadrada de -1 ainda resultava incomoda:

Na teoria das equivalências algébricas, substituída pela teoria dos números imaginários, a letra i deixa de representar o símbolo Álgebra que repudiamos completamente e que pode ser abandonado sem arrependimento uma vez que nao sabemos o que este suposto signo significa nem que sentido atribuir a ele. Pelo contrario, nos representamos pela letra i uma quantidade real mas indeterminada e ao substituir o símbolo _ pelo símbolo = transformamos o que foi chamado de uma equação imaginaria numa equivalência algébrica relativa a variável i e ao divisor i2 +1. Como este divisor permanece o mesmo em todas as formulas pode-se dispensar de escreve-lo.

Quatérnios.

Como observamos acima, Hamilton era também um físico e percebia claramente as implicações de sua descoberta: ele tinha desenvolvido uma algebra que permitia trabalhar com os vetores do plano. Isto o levou a considerar um problema que seria fundamental para a física da época: desenvolver uma álgebra de ternas que daria a linguagem para trabalhar com vetores do espaço.

Ele trabalhou durante dez anos neste problema antes de descobrir onde estava a dificuldade essencial. Uma carta a seu filho Archibald, de Outubro de 1843, revela sua obsessão com a questão:

Toda manha, quando descia para o café, teu irmão William Edwin e você mesmo costumavam perguntar-me “Bem, pai, você já pode multiplicar ternas?” A isso eu sempre me via obrigado a responder, com um triste balanço de cabeça, ”Não, eu apenas posso soma-las e subtrai-las”.

Para compreender como poderia ser feita esta multiplicação, Hamilton escrevia suas ternas na forma a + bi + cj, por semelhança ao que era feito com os complexos e tentava desenvolver o produto (a + bi + cj)(x + yi + zj) e representa-lo como um elemento da mesma forma. Esperava ainda que o comprimento do produto de vetores fosse igual ao produto dos comprimentos, i.e., que

Álgebra

fato que chamou lei dos módulos.

Para desenvolver o produto, assumiu naturalmente que Álgebramas a dificuldade estava em determinar qual devia ser o valor dos produtos ij e ji.

Não discutiremos em detalhe as tentativas sucessivas para definir esses produtos; uma exposição interessante encontra-se em [30]. Foi a tentativa de preservar a lei dos módulos que lhe impôs finalmente a necessidade de trabalhar com uma dimensão a mais, o que lhe resultava difícil de admitir:

e transferindo este paradoxo para a álgebra devemos admitir um terceiro símbolo imaginário k, que não deve ser confundido com i ou j … e fui assim conduzido a introduzir quaternios tais como a + bi + cj + dk ou (a, b, c, d).

Na mesma carta a seu filho, Hamilton descreve como foi a descoberta final:

Mas no dia 16 do mesmo mês [outubro de l843] – que era uma segunda-feira e dia de reunião do Conselho da Real Sociedade da Irlanda – eu ia andando para participar e presidir, e tua mãe andava comigo, ao longo do Royal Canal, … , embora ela falasse comigo ocasionalmente, uma corrente subjacente de pensamento estava acontecendo na minha mente, que finalmente teve um resultado, cuja importância senti imediatamente. Pareceu como se um circuito elétrico tivesse se fechado; e saltou uma faísca, o heraldo de muitos anos vindouros de pensamento e trabalho dirigidos, por mim, se poupado, e de qualquer forma por parte de outros, se eu vivesse o suficiente para comunicar minha descoberta. Nesse instante eu peguei uma libreta de anotações que ainda existe e fiz um registro naquela hora. Nao pude resistir ao impulso – tão nao filosófico quanto possa ser – de gravar com um canivete numa pedra da ponte de Brougham, quando a cruzamos, a formula fundamental dos símbolos i, j, k.

Álgebra

que contem a solução do Problema.

Note que a relação acima implica as conhecidas formulas que definem a multiplicação de símbolos:

Álgebra

Uma vez definido o produto, Hamilton define o conjugado _ = a + bi + cj + dk como sendo o quaternios:

Álgebra

Logo em seguida define o modulo como sendo:

Álgebra

e observa que Álgebra se e somente se Álgebra Com estas definições resulta imediato provar que dados dois quaternios Álgebra e Álgebratem-se que

Álgebra

isto é, vale a lei dos módulos. Ainda, é fácil ver que, se Álgebra então o quaternios

Álgebra

e, de fato, o inverso de _, uma vez que um calculo simples mostra que Álgebra

Com a multiplicação definida dessa forma, o conjunto dos quaternios constitui o primeiro exemplo de anel nao comutativo, com divisão. Claro que esta terminologia nao estava ainda em uso, mas Hamilton reconheceu imediatamente a importância de sua descoberta, especialmente pelas suas implicações para o desenvolvimento da física.

No dia seguinte, em 17 de outubro de 1843, Hamilton escreveu a seu amigo John T. Graves comunicando-lhe seus resultados. A semente de novos desenvolvimentos tinha sido plantada: em dezembro desse mesmo ano, Graves descobriu uma algebra de dimensão 8, os octonios. Havia, porem, uma notável diferença: em julho de 1844 Hamilton lhe observou que a propriedade associativa valia claramente para os quaternios mas nao valia para os octonios.

Hamilton dedicou o resto de sua vida a desenvolver aplicações dos seus quaternios á geometria, mecânica e física. Nesse período introduziu termos como vetor , versor, tensor, escalar, que são tão familiares ao estudante de matemática de nossos dias. Como resultado deste trabalho publicou em 1853 suas Lectures on Quaternios e, em 1866, se editou em forma póstuma um trabalho em dois volumes: Elements of Quaternios.

Os quaternios nao vieram a ocupar o lugar que seu autor sonhava na física – comparável ao papel desempenhado pelo calculo na mecânica – mas, mesmo assim, tiveram importância decisiva em pelo menos dois sentidos.

Por um lado, eles deram origem ao calculo vetorial. Com efeito, Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) era professor de física matemática no Yale College e, numa tentativa de simplificar os m´etodos dos quaternios, escreveu, para uso de seus estudantes, um conjunto de notas intitulado Elements of Vector Analysis onde se expõe o calculo vetorial da forma hoje usual. Independentemente, Oliver Heaviside (1850 – 1925) que era um engenheiro especializado em telegrafia, publicou, durante a década de 1880 – 1890, uma serie de artigos no jornal Electrician onde usava o calculo vetorial que tinha desenvolvido, da mesma forma que Gibbs, simplificando os métodos dos quaternios para torna-los acessíveis aos engenheiros.

Por outro lado, a descoberta teve um papel decisivo no desenvolvimento da Algebra. Do ponto de vista da abstração crescente que estava então em desenvolvimento, teve a virtude de assinalar que as leis fundamentais sugeridas pelos sistemas ate então conhecidos, nao eram dados aprioristicos que deviam ser sempre assumidos, uma vez que o conjunto dos quaternios e o primeiro exemplo conhecido onde a ordem dos fatores altera o produto, i.e., a primeira álgebra não comutativa. Mostrou também claramente a possibilidade de estender ainda mais o conjunto das álgebras conhecidas.

Novos Exemplos.

Como já observamos, apenas dois meses após a descoberta dos quaternios, Graves introduziu os octonios. Este sistema foi redescoberto independentemente em 1845 por Arthur Cayley (1821 – 1895) e por essa raz˜ao os octonios são conhecidos também como Números de Cayley. Estava assim aberto o caminho para novas generalizações. Em suas Lectures on Quaternios de 1853 Hamilton introduziu os Biquat´ernios que nada mais são do que quaternios com coeficientes complexos e constituem assim uma ´algebra de dimensão 8 sobre os reais. O próprio Hamilton demonstrou, nesse trabalho que esta ´algebra contem divisores de zero (i.e., elementos nao nulos a, b tais que ab = 0) e, consequentemente, ela não é uma álgebra com divisão. Ainda nesse mesmo texto ele desenvolve uma nova generalização que já tinha iniciado num artigo nos Transactions of the Royal Irish Academy em 1848: os Números Hipercomplexos. Um sistema de Números Hipercomplexos é o conjunto de todos os simbolos da forma:

Álgebra

onde Álgebra são números reais – ou, eventualmente, complexos e Álgebra s˜ao s´imbolos, chamados de unidades do sistema. Tal como no caso dos quat´ernios, a soma de dois elementos desta forma ´e definida somando coeficientes correspondentes e, assumindo a propriedade distributiva, para definir o produto basta decidir como multiplicar as unidades entre si. Como o produto de duas destas unidades deve ser outro elemento do sistema, deve ser poss´ivel escrevˆe-lo na forma:

Álgebra

A estrutura multiplicativa do sistema é determinada então dando os valores dos coeficientes ak(i, j) que, por causa disso, são chamados de constantes estruturaisdo sistema.

Um outro matemático desenvolveu paralelamente idéias muito similares. Hermann Gunther Grassmann (1809 – 1877), que não tinha demonstrado nenhum talento matem´atico na sua juventude, nem tinha formação universitária em matemática, tornou-se professor de matemática de nível secundário e desenvolveu suas idéias antes de Hamilton, mas só as publicou em 1844, um ano apos a descoberta dos quaternios. Nesse ano ele publicou seu Die Lineale Ausdehnungslehre onde expõe suas idéias. Porem, seu estilo excessivamente abstrato e as doutrinas místicas com que mistura a exposição fizeram com que seu trabalho permanecesse relativamente ignorado e tivesse pouca influencia nos desenvolvimentos que se seguiram.

 

Álgebra

Capítulo 5

Novas estruturas

5.1 Grupos e matrizes

Dois novos exemplos de estruturas algébricas, de enorme importância, foram introduzidos nos anos seguintes por Arthur Cayley. Ele tinha demonstrado talento matemático desde sua juventude, foi eleito fellow do Trinity College de Cambridge e ‘assistant tutor’, mas abandonou a posição três anos depois, pois, para continuar a carreira, deveria tomar hábitos religiosos. Passou os quinze anos seguintes trabalhando como advogado, mas sem deixar de se dedicar a matemática. Nesse período publicou mais de 200 artigos científicos e datam dessa época as contribuições que nos interessam. Cayley tinha uma notável habilidade para as formulações abstratas: sabia ver a generalidade por trás dos exemplos particulares e isto lhe permitiu ser o primeiro a formular o conceito de grupo abstrato.

O estudo das permutações se iniciou com os trabalhos de Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) sobre equações algébricas em 1770, e foi logo seguido pelas contribuições de Paolo Ruffini (1765 – 1822) e Niels Henrik Abel (1802 – 1829). O primeiro a considerar explicitamente grupos de permutações foi Evariste Galois (1811 – 1832), que utilizou o termo grupo com seu sentido atual no seu trabalho, hoje clássico, de 1830.

Logo depois, Agustin Cauchy, que percebeu a importância intrínseca dos grupos de permutações, escreveu uma serie de artigos a respeito, no per ´iodo de 1844 – 1846. Influenciado pelo trabalho de Cauchy, Cayley foi o primeiro a formular a noção geral implícita no caso particular. Ele definiu o conceito de grupo abstrato em 1854 num artigo intitulado On the Theory of Groups as depending on the symbolical equation Álgebra publicado no Philosophical Magazine. Não nos ocuparemos aqui das contribuições deste artigopara o desenvolvimento da teoria de grupos; o leitor poderá ver uma brevediscussão destes aspectos em [19] ou em [24, Capítulo II].

Ao definir a noção de grupo abstrato, Cayley usou uma nota¸c˜ao multiplicativa e, para frisar o fato de que num grupo está definida apenas uma única operação, ele observa, que no seu conjunto, os símbolos + e 0 não tem nenhum significado. No fim do artigo, porem, ele se coloca a questão de como introduzir a adição. Para isso denota os elementos do grupo por letras gregas Álgebra e Álgebra … e considera combinações lineares formais do tipo aÁlgebra + bÁlgebra+…que trata como elementos de um sistema hipercomplexo, i.e., define a soma de dois elementos desse tipo somando coeficiente a coeficiente e a multiplicação distributivamente, a partir do produto de elementos do grupo. Ele ilustra sua definição mostrando como multiplicar dois elementos da forma Álgebra onde Álgebra denotam os elementos do grupo não comutativo de ordem 6, cuja tabela de multiplicação ele tinha introduzido, nesse mesmo artigo. Dessa forma ele constrói explicitamente, pela primeira vez, o anel de grupo que hoje denotaríamos como Álgebra E interessante notar que ele observa ainda que o sistema que ele acaba de construir ´e semelhante ao sistema dos quaternios.

Pouco tempo depois, Cayley introduziu um novo conceito cuja importância no desenvolvimento da matemática seria difícil exagerar: o conceito de matriz. Ele chegou a este conceito através do seu estudo de invariantes sob transformações lineares. Tal como ele mesmo diz:

Eu certamente não cheguei à noção de matriz de forma alguma através dos quaternios; foi diretamente dos determinantes ou como uma forma conveniente de expressar as equações:

Álgebra

Ele introduziu esta noção em 1855, num artigo intitulado Remarques surla notation des fonctions algebriques. Certamente, os determinantes estavam em uso desde muito tempo antes, introduzidos em conexão com a resolução de sistemas lineares. Eles foram utilizados pela primeira vez por Colin Maclaurin (1698 -1746) provavelmente em 1729 e publicados postumamente no seu Treatise of Algebra em 1748. Tal como Cayley observa, a idéia de matriz precede logicamente `aquela de determinante, mas a ordem histórica foi ao contrario. Como ele estava interessado nas transformações lineares, a composição das mesmas lhe sugeriu naturalmente a definição de produto de matrizes e, consequentemente, a de inversa de uma matriz.

Em 1858 publica um segundo trabalho sobre o assunto: A memoir on the theory of matrices onde introduz a soma de matrizes e o produto por escalares. Aqui novamente a visão de Cayley lhe permitiu ver um novo sistema algébrico semelhante aos que vinham sendo desenvolvidos:

Se verá que as matrizes (considerando apenas as da mesma ordem) se comportam como quantidades; elas podem ser somadas, multiplicadas ou compostas: a lei de adição de matrizes e precisamente semelhante aquela da adição de quantidades algébricas: no que diz respeito a sua multiplicação, existe a peculiaridade de que matrizes não são, em geral, comutativas.

E conveniente notar que ainda não existia, na época, uma definição abstrata de anel. Consequentemente, o fato de que o conjunto das matrizes de um dado tamanho constituía também um sistema hipercomplexo não era nada evidente, uma vez que a definição destes dependia da adoção de um sistema de unidades.

Ele observou explicitamente uma clara relação com os quaternios; notou que se M e N são duas matrizes de ordem 2×2 que verificam M2 = N2 = -1 e MN = -NM então, escrevendo L = MN, tem-se que as matrizes L, M, N satisfazem um sistema de relações precisamente similar aquele da teoria dos quaternios.

E interessante observar que ´e justamente nessa observação que se baseia a demonstração atual de que M2(C), o anel das matrizes de ordem 2 × 2 com coeficientes no corpo C dos números complexos ´e isomorfo ao anel dos quaternios com coeficientes em C: i.e., ao anel dos biquaternios de Hamilton..

Esta observação despertou o interesse de James Joseph Sylvester (1814 – 1897) e, num artigo de 1884, ele afirma que um trabalho de Charles S.Peirce (1839-1914) lhe sugeriu o método pelo qual uma matriz ´e despojada de suas dimensões como área e representada como uma soma linear.

Ele se referia, naturalmente ao fato bem conhecido de que o conjunto de todas as matrizes de ordem n × n pode ser considerado como um espaço vetorial de dimensão Álgebra Denotando por Eij a matriz que tem um 1 na posição i,j e 0 em todas as outras, uma matriz Álgebra pode ser escrita na forma Álgebra Neste momento resulta evidente, por fim, que as matrizes também são sistemas hipercomplexos. Convém observar que Sylvester não utiliza esta notação que nos é familiar. Ela foi introduzida por Eduard Study (1862-1922) em 1889.

Teoria de corpos

O conceito de corpo, como um conjunto fechado pelas operações de soma e multiplicação onde existem oposto e inverso de todo elemento (com exceção do inverso do zero, ´e claro), bem como o conceito de corpo gerado por n números complexos Álgebra como o conjunto de todos os números que podem se obter somando, subtraindo, multiplicando e dividindo estes número (exceito, mais uma vez, a divisão por zero) já aparecem no trabalho de Galois sobre resolução de equações polinomiais. Também encontra-se ali o construção do corpo que se obtém por extensão de um corpo dado por um novo elemento que não lhe pertence. Ele chama estas estruturas de domínios de racionalidade.

Na verdade, todos estes corpos contem o corpo dos números racionais e são, portanto, de característica 0. Porem, no seu trabalho intitulado “Surla théorie des nombres”, publicado no Bulletin des Sciences de Ferussac em 1830, Galois constrói também os corpos finitos.

Essencialmente, ele usa a idéia de Gauss de considerar congruências modulo. um primo p e constrói o que hoje denotamos como Álgebra o corpo cosinteiros modulo p. Depois ele considera o anel de polinômios com coeficientes em Álgebrae toma congruências modulo um polinômio irredutível f. E fácil provar que se f tem grau n, então o conjunto das classes de restos assim construído e um corpo finito com Álgebra elementos. Desta forma, ele constrói os corpos que hoje chamamos de Corpos de Galois e denotamos por GF Álgebra Consciente da novidade de sua descoberta, ele diz:

Se concordamos em considerar como zero todas as quantidades que, nos cálculos algébricos, resultam múltiplos de p, e se tentamos encontrar, sob esta convenção, a solução de uma equação algébrica f(X) = 0 que M. Gauss designa com a notação f(X) _ 0, o costume e considerar só soluções inteiras. Havendo sido levado, por minhas próprias pesquisas, a considerar soluções incomensuráveis, atingi certos resultados que considero novos.

Muitos anos mais tarde, E.H. Moore (1862-1932) provou, em 1903, que todos os corpos finitos da mesma ordem são isomorfos entre si e, portanto, isomorfos ao corpo de Galois dessa ordem.

Outra linha de pesquisa extremamente importante que levou a trabalhar com a noção de corpo, desde outro ponto de vista foi a teoria de números. Quando Gauss tinha apenas 20 anos, ele escreveu uma obra fundamental, as Disquisitiones Arithmeticae que enviou a Academia Francesa em 1800 e foi releitada. Gauus a publicou por si mesmo no ano seguinte. Foi nessa obra que ele intruduziu a notação para congruências que usamos ainda hoje. Na quarta seção do texto, ele estuda os resíduos quadráticos: dado um um primo p e um inteiro a que não é múltiplo de p, um outro inteiro x diz-se um resíduo quadrático de a, em modulo p se

Álgebra

Esta linguagem tinha sido introduzida por Euler em 1754/55. Ele foi o primeiro a estabelecer a Lei de reciprocidade quadrática: se p e q são dois inteiros primos, então p é um resíduo quadrático em modulo q se e somente se q ´e um residua quadrático em modulo p. Subsequentemente, A.M. Legendre (1752-1833) deu outra demonstração dessa lei e introduziu o símbolo de Legendre que ainda se utiliza em teoria de números. Gauss mostrou que ambas as demonstrações estavam incompletas e deu a primeira demonstração completa desta lei. Posteriormente ele publicou outras quatro demonstrações diferentes. Anos mais tarde, Gauss considerou também resíduos cúbicos e biquadraticos, numa serie de artigos publicados entre 1808 e 1832. Foi nesses trabalhos que, para obter simplicidade e elegância nas suas demonstrações, Gauss introduziu os números que hoje chamamos de inteiros de Gauss, que são complexos da forma a + bi onde a e b são números inteiros. Ele provou que muitas das propriedades dos números inteiros se estendem aos inteiros de Gauss: por exemplo, o pequeno teorema de Fermat: Se p=a+bi ´e um inteiro de Gauss primo e definimos sua norma por N(p) = a2 + b2 e a ´e um outro inteiro de Gauss que não é múltiplo de p, então

Álgebra

A teoria dos inteiros de Gauss e um primeiro passo na direção de uma área de grande importância na algebra atual; a teoria dos números algébricos. Esta teoria se desenvolveu a partir dos esforços de diversos autores para provar o Teorema de Fermat, que afirma que uma equação da forma Álgebra não tem soluções inteiras para Álgebra O primeiro resultado positivo, nessa direção, foi de Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675) , um amigo de Fermat, que provou a afirmação para n = 4 no Traite des triangles rectangles em nombres publicado postumamente, em 1676. Postriormente, Euler provou que esta afirmação é verdadeira para n = 3 e também para n = 4 em 1738 e Legendre a provou para n = 5 em 1823, mas o resultado geral permaneceu em aberto por muito tempo mais 1. O próprio Gauss parece não ter tido especial interesse neste resultado. Apos tentar provar a afirmação para o caso n = 7, sem sucesso, ele escreveu a H.W.M. Olbers (1758-1840) em 1816:

Eu confesso,de fato, que o Teorema de Fermat, como proposição isolada, tem poco interesse para mim, uma vez que uma multidão de tais proposições, que não podem ser provadas nem refutadas, podem ser formuladas facilmente.

O caso n = 7 foi resolvido por Gabriel Lame (1795-1870) em 1838 e Peter Gustave Lejeune-Dirichlet (1805-18590 estabeleceu a verdade da afirmação para n = 14.

A primeira tentativa de se obter resultados gerais é devida a Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Ele abandonou a teologia para se dedicar a matemática, foi discípulo de Gauss e Dirichlet e foi professor em Breslau e Berlim. Ele considerou a equação Álgebraonde p é um inteiro primo ea fatorava na forma:

Álgebra

onde Álgebradenota uma raiz péssima da unidade, isto é, uma raiz da equação:

Álgebra

Isto o levou a estender da idéia dos inteiros de Gauss, considerando números da forma

Álgebra

que ele chamou de inteiros complexos e hoje chamamos de inteiros ciclotômicos.

Em 1843 ele deu as definições apropriadas de inteiro primo, divisibilidade etc. e cometeu o erro de assumir que a decomposição de todo inteiro complexo como produto de primos era única. Desta forma, ele conseguiu provar o Teorema de Fermat. Quando ele enviou seu manuscrito a Dirichlet, este apontou o erro e, em 1844, Kummer reconheceu que a critica de Dirichlet estava correta. Incidentalmente, também Cauchy e Lame , em alguma oportunidade, cometeram o mesmo erro. Para obeter a unicidade da decomposição, Kummer criou a teoria dos números ideais em 1844 e com ela provou, por exemplo, que sua demonstração funcionava para todos os inteiros menores do que 100, menos para 37, 39 e 67. Num artigo de 1857 Kummer estendeu seus resultados a estes três primos excepcionais.

Finalmente, Richard Dedekind (1831-1916) que fora discípulo de Gauss e professor secundário por mais de cinqüenta anos, atacou o problema da fatorização única de uma forma inteiramente diferente. Em primeiro lugar, ele estendeu ainda mais a idéia dos inteiros de Gauss. Um numero complexo diz-se um numero algébrico se ele ´e raiz de uma equação da forma

Álgebra

onde Álgebra são números inteiros e diz-se um inteiro algébrico se e raiz de uma equação da forma acima, com Álgebra

Com estas definições prova-se facilmente que os números algébricos formam um corpo, os inteiros algébricos um domínio de integridade e que se um inteiro algébrico e um numero racional, então ele e um inteiro ordinário. Neste contexto, Dedekind deu a primeira definição formal de corpo (K¨orper) e de anel, que ele chamava de ordem.

A teoria abstrata de corpos foi iniciada por Heinrich Weber (1842- 1913) em 1893. Tempo depois, Leonard Eugene Dickson (1874-1954) e Edward V. Huntington (1874-1952) deram, independentemente, em 1903, definições de corpo a traves de conjuntos de postulados. Em 1908, Kurt Hensel (1861-1941) introduziu um novo tipo de corpo: o corpo dos números padicos que tem, também, aplicações na teoria algébrica de números e levou a definição do conceito de valorização. Motivado pela grande variedade de corpos que tinha sido definidos, Ernst Steinitz tentou um estudo compreensivo da teoria abstrata de corpos no seu trabalho fundamental sobre o assunto, de 1910, que, conjuntamente com um artigo clássico de Emmy Noether, de 1929, são considerados, por exemplo por Bourbaki , como os dois pilares fundamentais da ´algebra moderna.

Neste trabalho ele introduz a noção de corpo primo, de característica de um corpo e prova um resultado fundamental: que todo corpo pode-se obter do seu corpo primo pela adjunção de uma serie (eventualmente infinita) de elementos transcendentes e depois a adjunção de uma serie de elementos algébricos. Também neste trabalho ele introduz a noção de polinômio separável , que ele chama de vollkommen ou completo, e prova que sobre um corpo, todo polinômio e irredutível ou se decompõe num produto de fatores lineares, se e somente se ele e extensão de um corpo dado pela adjunção de um numero finito de raízes de polinômios sepáveis.

Álgebra

Anéis e Álgebras

Tal como vimos no capitulo anterior, desde o começo da teoria, os sistemas hipercomplexos, que hoje chamamos de álgebras lineares associativas, eram definidas a partir de elementos básicos, definindo a soma de forma natural e o produto distributivamente, a partir da multiplicação de elementos da base.

Este ultimo era feito usando as constantes estruturais, que deviam ser adequadamente escolhidas.

Em 1903, L.E. Dickson deu a primeira definição abstrata de álgebra – embora dependa em parte de coordenadas – num artigo intitulado Definition of a Linear Associative Algebra by an Independent Set of Postulates publicado no Trans. Amer. Math. Soc.

Neste trabalho, ele da duas definições de álgebras lineares associativas. A primeira e nossa velha conhecida, em termos de elementos básicos e constantes estruturais. A novidade aqui e que ele impõe certas condições as constantes estruturais, os postulados do sistema, e mostra que estas condições são independentes entre si, i.e., que nenhuma delas e conseqüência lógica das restantes.

Sua segunda definição se aproxima bastante da forma atual, apesar do uso de coordenadas. Ele considera um sistema de elementos da forma A = Álgebra onde os coeficientes ai, que ele chama de coordenadas do elemento, pertencem a um dado corpo F. Define a soma componente a componente e observa que dados dois elementos A e B sempre existe um outro elemento D tal que A + D = B. Depois, ele diz

Considere uma segunda lei de combinação de elementos com as seguintes propriedades:

1. Para quaisquer dois elementos A e B do sistema A.B e outro elemento do sistema cujas coordenadas são funções bilineares das coordenadas de A e B com coeficientes em F.

2. (A.B).C = A.(B.C) , se A.B,B.C, (A.B).C, A.(B.C) pertencem ao sistema.

3. Existe no sistema um elemento I tal que A.I = A para todo elemento A do sistema.

4. Existe no sistema pelo menos um elemento A tal que A.Z 6= 0 para qualquer elemento Z 6= 0.

Ele prova novamente que suas condições são independentes entre si e, o que e mais importante, que esta segunda definição e equivalente a primeira. Finalmente, uma definição puramente abstrata, livre de coordenadas, foi dada pelo próprio Dickson em 1923.

Quanto ao conceito de anel, pode-se dizer que ele era conhecido e utilizado já nos trabalhos sobre teoria dos números algébricos de Richard Dedekind e Leopold Kroneker (1823 – 1891) embora o termo utilizado fosse ordem. O termo anel foi introduzido em 1897 por David Hilbert (1862 – 1943), ainda no contexto especifico da teoria dos números algébricos. A definição abstrata, com toda sua generalidade, foi dada em 1914 por Abraham A. Fraenkel (1891 – 1965) num artigo intitulado

On zero divisors and the decomposition of rings, no Jour. fur die Reine und Angew. Math.. Ilustrando a abrangência do conceito, ele da vários exemplos de anéis: inteiros modulo n, sistemas de números hipercomplexos, matrizes, e inteiros pàdicos.

O enunciado de sua definição e muito próximo do atual. Ele considera um sistema com duas operações, que chama de soma e produto e estabelece que, em relação a soma, o sistema deve formar um grupo (e enuncia explicitamente os axiomas desta estrutura). Sobre o produto, ele especifica que deve ser associativo e distributivo em relação a soma e inclui a existência de um elemento unidade.

A comutatividade da soma, que não foi postulada, e demonstrada a partir destes axiomas, bem como uma serie de resultados elementais. Ha ainda dois axiomas a mais, referentes a certos elementos, chamados regulares, que não se incluem nas definições modernas.

O objetivo de Fraenkel, neste trabalho, era dar uma teoria abstrata e compreensiva da teoria de anéis, comparável a que Ernst Steinitz tinha formulado para os corpos na sua Algebraischen Teorie des Körper publicada em 1910 no Jour. fur Math. Naturalmente, esta tarefa era por demais ambiciosa para ser satisfatoriamente desenvolvida tão cedo.

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Fonte: www.bienasbm.ufba.br

Álgebra

Considerada como um sistema para resolver problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos, a álgebra remonta à Antigüidade. Os egípcios já lidam com este tipo de problema no século XVII a.C., mas seus enunciados mais parecem enigmas ou adivinhações do que equações matemáticas. Chineses e indianos também trabalham com equações algébricas. Os gregos e, depois, os árabes simplificam e aperfeiçoam os métodos de cálculo. No entanto, a álgebra só começa a se constituir como um ramo específico da matemática no Renascimento e desenvolve-se plenamente apenas na Europa moderna e contemporânea.

Origem da palavra Álgebra

A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro al-jabr w’al-muqabalah, ou A arte de reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por al-Kwarizmi, o mesmo matemático árabe que introduz o sistema decimal e os algarismos indianos no Ocidente. Começa a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI, quando a obra de al-Kwarizmi é traduzida para o latim.

Papiro de Rhind

Os problemas algébricos mais antigos hoje conhecidos datam do século XVII a.C. Estão registrados em um papiro descoberto em 1858 na cidade de Luxor, no Egito, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Seus enunciados têm a seguinte forma: “Ah, seu inteiro, seu sétimo, fazem 19″. Em álgebra moderna, a expressão pode ser traduzida por: x + x/7 = 19. O número desconhecido, ou incógnita, é representado por um símbolo, neste caso o x, manipulado até seu valor ser determinado. O intervalo de tempo transcorrido entre a escrita do Papiro de Rhind e a elaboração desta forma de apresentar as equações algébricas (x + x/7 = 19) é de 34 séculos.

Pai da Álgebra

Os elementos, de Euclides, já estabelecem algumas relações algébricas básicas e seus axiomas são indispensáveis para a solução das equações. No entanto, o chamado “pai da álgebra” é Diofante, matemático grego que vive em Alexandria no século IV d.C., o primeiro a usar sistematicamente símbolos para representar as incógnitas. Diofante é pioneiro na solução das equações indeterminadas, também chamadas de diofantinas, aquelas em que as informações não são suficientes para se obter uma resposta exata, mas permitem estabelecer uma relação entre os termos da equação. Exemplo: Paulo recebe 2 moedas a mais do que 10 vezes as moedas recebidas por João. Quantas moedas Paulo recebe? Em álgebra moderna, o problema pode ser traduzido por x = 10y + 2. Este tipo de equação, ao ser aplicada pelos matemáticos modernos à análise dos números inteiros, produzirá um grande desenvolvimento da teoria dos números, um dos ramos da matemática pura.

Enigma da idade

Ninguém sabe exatamente quando nasceu ou morreu Diofante. Sabe-se apenas que viveu por 84 anos. Ao menos, este é o resultado do enigma elaborado por um de seus discípulos para descrever a vida do mestre: “A juventude de Diofante durou 1/6 de sua vida; depois de mais 1/12, nasceu-lhe a barba. Ao fim de mais 1/7 de sua vida, Diofante casou-se. Cinco anos depois teve um filho. O filho viveu exatamente metade do que viveu o pai, e Diofante morreu quatro anos depois da morte de seu filho. Tudo isso somado é o número de anos que Diofante viveu”. O enigma pode ser traduzido por uma equação de primeiro grau onde x é a idade de Diofante:

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4. O resultado é 84.

SÍntese Árabe

Os árabes não chegam a inovar no terreno da álgebra. No entanto, com a expansão islâmica, a partir do século VII, entram em contato, reúnem e sistematizam os conhecimentos matemáticos construídos por diferentes civilizações. Absorvem a geometria grega e o sistema numérico dos hindus, desenvolvem a trigonometria e simplificam a álgebra. Na Idade Média, com a dissolução do Império Romano do Ocidente e a pouca importância dada às ciências no Império Bizantino, o mundo árabe torna-se o grande centro da pesquisa matemática. Suas bibliotecas na Espanha islamizada são pólos irradiadores desta ciência para o resto da Europa.

Álgebra européia

A expansão comercial européia e as grandes navegações nos séculos XV e XVI provocam um novo interesse pelas ciências. A tradução das obras gregas e árabes repercutem em vários campos. O acesso à geometria euclidiana, por exemplo, reflete-se tanto na retomada da perspectiva nas obras de arte, como na renovação da cartografia promovida pelo geógrafo flamengo Gerhard Mercator em 1569, ou, ainda, nas teorias de Copérnico sobre as órbitas dos planetas. A própria geometria, no entanto, só receberá inovações significativas no século XIX, com o surgimento das geometrias não-euclidianas. É no terreno da álgebra que a matemática européia registra os maiores avanços no início da era moderna.

Equações de 3ºe 4º graus Depois de Diofante, no século IV d.C., o próximo passo significativo no avanço da álgebra é a solução das equações de 3º e 4º graus, no século XVI. Scipione del Ferro e Nicolo Fontana, também chamado de Tartaglia, ou “gago”, são os primeiros a resolver a equação de 3º grau, e Lodovico Ferrari resolve a de 4º grau. Seus trabalhos são reunidos no livro Ars magma, de Girolamo Cardano, em 1545.

Números negativos – Girolamo Cardano é o primeiro matemático a aceitar plenamente a existência de números negativos como resultado válido para equações algébricas. Até então, os matemáticos não conseguem imaginar alguma coisa menor do que zero e relutam em aceitar os números negativos resultantes de uma equação de 2º grau. Também não têm certeza sobre a quantidade possível de soluções para as equações.

Esta questão será solucionada definitivamente apenas no final do século XVIII, quando Carl Friedrich Gauss demonstra seu teorema geral da álgebra: cada equação algébrica terá tantas soluções quantas forem as unidades de seu grau. Uma equação de 2º grau terá duas soluções, a de 3º grau terá três soluções, a de 4º grau terá quatro e assim por diante, mas esses resultados serão sempre números complexos.

Notações algébricas No início da era moderna, os matemáticos aperfeiçoam as notações algébricas, aumentam a precisão dos cálculos e obtêm um grande progresso na álgebra. Passam a usar letras para representar as incógnitas, adotam os símbolos de + para adição, para subtração e o sinal = para igualar os termos das equações. François Viète (1540-1603), advogado e matemático amador, é um dos que mais se destacam no período.

Adota vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas (ou de 4º grau) e trigonometria, para as equações de graus mais elevados. Viète, que também simplifica as relações trigonométricas, pode ser considerado um precursor da geometria analítica. As notações atualmente utilizadas nas equações algébricas a, b, c, para os números conhecidos, e x, y, z para as incógnitas são estabelecidas por René Descartes, na primeira metade do século XVII.

Fonte: www.conhecimentosgerais.com.br

Álgebra

Uma história emocionante

O que é álgebra?

É o ramo que estuda as generalizações dos conceitos e operações de aritmética. Hoje em dia o termo é bastante abrangente e pode se referir as várias áreas da matemática.

O surgimento da álgebra

A álgebra surgiu na antiga Babilônia, cujos os matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado. Os primeiros artigos registrados de álgebra foram achados no Egito em 2.000 a.C.

Ela surgiu a partir da necessidade de realizar os primeiros cálculos algébricos, dando destaque aos matemáticos egípcios, gregos, indianos e chineses. Um documento egípcio era utilizado para registrar o que acontecia na sociedade, o “papiro”.

Na álgebra, o “papiro de rhind” é o documento mais antigo que faz referência a álgebra ( de cerca de 1650 a.C. ), que foi escrito por um escriba chamado de Ahmes, que detalhava a solução de 85 problemas de aritmética e de álgebra.

OS PAIS DA ÁLGEBRA

Al – Khawarizmi foi um matemático, astrônomo, astrólogo, geógrafo e autor persa. Ele nasceu no atual país do Uzbequistão ( antigamente, chamado de “Khiva” ), por volta do ano de 780 e morreu em Bagdad por volta de 850.

Foi o primeiro a escrever sobre a álgebra e assim muitos outros seguiram seus passos, sendo o seu livro considerado um dos melhores do assunto. Outra obra que exerceu grande influência é a introdução do cálculo indu no mundo islâmico, o que posteriormente foi aprofundado por outros escritores que o seguiram.

Devem-se também a Al-Khawarizmi um tratado de geometria, tábuas astronômicas e outros trabalhos em geografia. Ele também participou da operação Geodésica mais delicada da sua época.

François Viète foi um advogado francês, com a capacidade de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas. Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.

Maior algebrista grego de Alexandria, Diofante, verdadeiro precursor da moderna teoria dos números e para alguns considerado o pai da álgebra, principalmente devido a sua inovação com as notações, o primeiro a usar símbolos na resolução dos problemas algébricos.

Sabe-se que viveu na Idade de Prata (250-350) da Universidade de Alexandria, e que sua principal obra foi um grande tratado chamado Aritmética (250-275), um clássico da ciência alexandrina sobre teoria dos números, numa publicação em 13 livros, dos quais sete desapareceram, sem dúvida a maior obra da Antigüidade sobre o tema. Viveu e morreu em Alexandria e, segundo a tradição, em seu túmulo estava gravado um enigma matemático cuja solução revelava que ele viveu 84 anos.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

Uma expressão algébrica é usada para representar uma constate, uma variável ou uma combinação de variáveis e constantes relacionadas por um número finito de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação, potenciação).

Fonte: www.jesuitas-pi.com.br

Álgebra

Breve História da Álgebra Abstrata

Capítulo 1

Um panorama geral

1.1 Introduçãoao

Durante muitíssimo tempo, a palavra Álgebra designava aquela parte da matemática que se ocupava de estudar as operações entre números e, principalmente, da resolução de equações. Nesse sentido, pode-se dizer que esta ciência é tão antiga quanto a própria história da humanidade, se levamos em conta que esta ´ultima se inicia a partir da descoberta da escrita. De fato, tanto nas tabuletas de argila da suméria quanto nos papiros egípcios, encontramos problemas matemáticos que lidam com a resolução de equações.

No Papiro Rhind, por exemplo, documento egípcio que data aproximadamente do ano 1650 a.C. e no qual o escriba conta que está copiando material que provém do ano 2000 a.C., encontramos problemas sobre distribui ção de mercadorias que conduzem a equações relativamente simples.

Surpreendentemente, descobrimos também que os antigos babilônios sabiam resolver completamente equações de segundo grau (veja, por exemplo o Capítulo III de [3]). Desde os seus começos, a álgebra se preocupou sempre com a procura de métodos gerais e rigorosos. Assim por exemplo, R.J. Gillings [9, Appendix I] comentando os métodos que os egípcios usavam para lidar com a resolução de equações diz:

Os estudiosos da história e filosofia da ciência do século vinte, ao considerar as contribuições dos antigos Egípcios, se inclinam para atitude moderna de que um argumento ou prova lógica deve ser simbólico para ser considerado rigoroso, e que um ou dois exemplos específicos usando números escolhidos não podem ser considerados cientificamente sólidos. Mas isto não ´e verdade! Um argumento ou demonstrações não simbólico pode ser realmente rigoroso quando dado p[ara um valor particular da variável; as condições para o rigor são que o valor particular da variável seja típico e que uma conseqüente generalização para qualquer valor seja imediata. Em qualquer dos tópicos mencionados neste livro, onde o tratamento dado pelos escribas seguia estas linhas, ambos os requisitos eram satisfeitos de modo que os argumentos colocados pelos escribas são já rigorosos... o rigor está implícito no método.

Quando finalmente se desenvolveu uma notação apropriada (empregando letras para representar coeficientes e variáveis de uma equação), foi possível determinar “fórmulas gerais” de resolução de equações e discutir métodos de trabalho também “gerais”. Porem, mesmo nestes casos, tratava-se de situações relativamente concretas. As letras representavam sempre algum tipo de números (inteiros, racionais, reais ou complexos) e utilizavam-se as propriedades destes de forma mais ou menos intuitiva. Como veremos adiante, a formalização destes conceitos de modo preciso só aconteceria a partir do século XIX.

Foi precisamente nesse século que alargou-se consideravelmente o conceito de operação. Alguns autores da época não mais se restringem a estudar as operações clássicas entre números, mas dão ao termo um significado bem mais amplo e estudam operações entre elementos, sem se preocupar com a natureza destes, interessando-se apenas com as propriedades que estas operações verificam.

A passagem da álgebra clássica para a assim chamada álgebra abstrata foi um processo sumamente interessante. Representa não somente um progresso quanto aos conteúdos técnico-cietíficos da disciplina como amplia consideravelmente o seu campo de aplicação e, o que é mais importante, implica - num certo sentido - uma mudança na própria concepção do que a matemática é, da compreensão de sua condição de ciência independente e da evolução dos métodos de trabalho.

J. Dieudonn é disse, em [1, Capítulo III] que “… em matemática, os grandes progressos estiveram sempre ligados a progressos na capacidade de elevarse um pouco mais no campo da abstração” e, na mesma obra, A. Lichnerowicz [1, Capítulo IV] observou que “´e uma característica da matemática repensar

O SIMBOLISMO ALGÉBRICO

Integralmente seus próprios conteúdos e nisso reside, inclusive, uma condição essencial para seu progresso”. A história da álgebra abstrata ilustra perfeitamente estes pontos de vista.

Pode-se dizer que há dois fatores que contribuíram fundamentalmente para o desenvolvimento da álgebra: de um lado, a tendência a aperfeiçoar as notações, de modo a permitir tornar o trabalho com as operações (e equações) cada vez mais simples, rápido e o mais geral possível e, por outro lado, a necessidade de introduzir novos conjuntos de números, com o conseqüente esforço para compreender sua natureza e sua adequada formalização.

E bem sabido que o uso de uma notação adequada é fundamental para o bom desenvolvimento de uma área da matemática. Por´em, a hist´oria nos ensina que nem sempre é fácil chegar a uma tal notação. Um bom exemplo vem dos próprios números naturais. A numeração indo-arábico que usamos ainda hoje começou a ser desenvolvida na Índia e a primeira referência ao princípio posicional aparece pela primeira vez na obra de Aryabhata chamada Aryabatiya, publicada em 499, onde encontramos a frase de lugar para lugar, cada um vale dez vezes o precedente. A primeira ocorrência de fato se dá num objeto do ano 595, onde a data 346 aparece em numeração posicional e o registro mais antigo do uso do número zero se acha numa inscrição indiana de 876 d.C.

A necessidade de uma notação mais sofisticada se manifestou pela primeira vez em relação á resolução de equações algébricas. Como já observamos, os egípcios resolviam equações de primeiro grau e algumas equações particulares do segundo grau, enquanto que os babilônios conheciam o método para resolver qualquer equação de segundo grau. Também os gregos resolviam este tipo de equações, por métodos geométricos mas, em todos os casos, não havia notações nem fórmulas gerais.

É no século IV d.C., na Aritmética de Diophanto, que encontramos pela primeira vez o uso de uma letra para representar a incógnita de uma equação, que o autor chamava o número do problema. Como os manuscritos originas de Diofanto não chegaram até nós, não sabemos com toda certeza quais os símbolos que ele usava, mas acredita-se que representava a incógnita pela letra &, uma variante da letra _ quando aparece no fim de uma palavra (por exemplo, em µ´o & – arithmos). Esta escolha se deve provavelmente ao fato de que, no sistema grego de numeração, as letras representavam também números conforme sua posição no alfabeto, mas a letra & não fazia parte do sistema e não correspondia, assim, a nenhum valor numérico particular.

Ele usava também nomes para designar as várias potências da incógnita, como quadrado, cubo, quadrado-quadrado (para a quarta potência), quadrado-cubo (para a quinta) e cubo-cubo (para a sexta). O uso de potências superiores a três é notável uma vez que, como os gregos se apoiavam em interpretações geométricas, tais potências não tinham um significado concreto. Porém, de um ponto de vista puramente aritmético, estas potências sim tem significado e esta era a postura adotada por Diofanto.

A partir de então, os métodos e notações de Diofanto foram se aperfeiçoando muito lentamente. Mesmo os símbolos hoje tão comuns para representar as operações demoraram a ser introduzidos. Muitos algebristas usavam p e m para representar a adição e a subtração por serem as iniciais das palavras latinas plus e minus. O símbolo = para representar a igualdade foi introduzido só em 1557 por Robert Recorde e não voltou a aparecer numa obra impressa até 1618. Autores como Kepler, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Pascal, Napier, Briggs e Fermat, entre outros, ainda usavam alguma forma retórica em vez de um símbolo, como as palavras e aqueles, escale, faciunt, gheljck ou a abreviatura aeq. Para uma história detalhada da evolução do simbolismo algébrico, o leitor pode consultar a referência clássica de F. Caburé [4].

A notação de expoentes ´e usada por Nicolas Chuquet (1445?-1500?) na sua Tripary, onde escreve expressões como 123, 103 e 1203 para representar o que hoje escreveríamos como 12×3, 10×3 e 120×3 e também 120 e 71m para 12×0 e 7x-1.

Os primeiros passos para a introdução do conceito de polinômio e seu uso para a formulação de problemas de resolução de equações foram dados por Simon Stevin (1548 – 1620). Nascido em Bruges, mudou para Leyden em 1582, foi tutor de Maurício de Nassau e serviu o exército holandês. Ele foi um defensor do sistema de Copérnico e o primeiro a discutir e sugerir o emprego de frações decimais (por oposição ao sistema sexagesimal defendido por outros), na sua obra mais conhecida De Thiende, publicada em Flamengo em 1585 e traduzida ao francês, sob o título Lá Disme, no mesmo ano.

Alí ele usou símbolos como Álgebra etc. para indicar as posi¸c˜oes das unidades, d´izimas, cent´esimas, respectivamente. Assim por exemplo, ele escreve 875, 782 como 875 Álgebra No restante do livro, ele estuda as opera¸c˜oes entre d´izimas e justifica as regras de c´alculo empregadas. O leitor interessado pode ver uma tradu¸c˜ao ao inglˆes de De Tiende em [28, pp. 20-34].

No seu livro seguinte, “L’ Arithmetique”, publicado em 1585, ele introduz uma nota¸c˜ao exponencial semelhante para denotar as v´arias potˆencias de uma vari´avel. As potˆencias que n´os escrever´iamos com x, x2 x3 etc. s˜ao denotadas por ele como Álgebra e assim, por exemplo, o polinˆomio 2×3 +4×2 +2x+5 se escreveria, na sua nota¸c˜ao como:

Álgebra

Ele denomina estas expressões de multinômios e mostra como operar com eles. Entre outras coisas, observa que as opera¸c˜oes com multinômios tem muitas propriedades em comum com as operações entre “números aritméticos”. Ainda, ele mostra que o algoritmo de Euclides pode ser usado para determinar o máximo divisor comum de dois “multinômios”. ´E interessante destacar aqui que nos encontramos frente a dois progressos notáveis na direção da abstração. De um lado temos a percepção, cada vez mais clara, de que os métodos de resolução de equações dependem unicamente do grau da equação e não dos valores dos coeficientes numéricos (vale lembrar que autores como Tartaglia, Cardano e outros, que se utilizavam apenas de coeficientes positivos, consideravam como problemas diferentes, por exemplo, as equações da forma X3 = aX +b e X3 +aX = b). Mais importante ainda, vemos que Stevin trata seus multinômios como novos objetos matemáticos e estuda as operações entre eles.

Mais interessante ainda é o trabalho de François Viète (1540 – 1603). Nascido em Fontenay-le Comte, teve formação de advogado e, nesta condição, serviu ao parlamento de Bretania em Rennes e foi banido de suas atividades, devido à oposição política, entre 1584 e 1589, quando foi chamado por Henri III para ser conselheiro do parlamento, em Tours. Nos anos em que esteve afastado da atividade política, dedicou-se ao estudo da matemática e, em particular, aos trabalhos de Diophanto, Cardano, Tartaglia, Bombelli e Stevin. Da leitura destes trabalhos ele teve a idéia de utilizar letras para representar quantidades. Isto já tinha sido feito no passado, até por autores como Euclides e Aristóteles, mas seu uso era pouco freqüente.

Sua principal contribuição à Álgebra aparece no seu livro In Artem Analyticam Isagoge – Introdução á Arte Analítica – impresso em 1591, onde trata das equações algébricas de um novo ponto de vista. Ele fez importantes progressos na notação e seu verdadeiro mérito está em ter usado letras não somente para representar a “incógnita”, mas também para representar os coeficientes ou quantidades conhecidas. Ele usava consoantes para representar quantidades conhecidas e reservava as vogais para representar as incógnitas. Deixamos Viète descrever a grande descoberta com suas próprias palavras.

Este trabalho pode ser ajudado por um certo artifício. Magnitudes dadas serão distinguidas das desconhecidas e requeridas por um simbolismo, uniforme e sempre fácil de perceber, como é possível designando as quantidades requeridas pela letra A ou por outras letras vogais A,I,O,V,Y e as dadas pelas letras B,G,D ou outras consoantes.

Assim por exemplo, a equa¸c˜ao que n´os escrever´iamos como Álgebra era representada por ele na forma:

B in A quadratum plus C plano in A aequalia D solido.

Como Viète pensava geometricamente, requeria, para suas equações, um princípio de homogeneidade, i.e., todos os termos de uma dada equação deveriam ter a mesma “dimensão”; assim por exemplo, todos os termos de uma equação quadrática, tal como a dada acima, deviam representar volumes. É por causa disso que o coeficiente da variável C ´e acompanhado do adjetivo plano, pois devia representar uma área. Da mesma forma, D ´e acompanhado do termo sólido para enfatizar que representa um volume. Uma restrição à generalidade de sua notação è que ele representava por letras apenas números positivos e, como muitos dos seus predecessores, não utilizava coeficientes negativos. John Hudde (1633 – 1704) foi o primeiro a usar, em 1657, letras para representar coeficientes que podiam ser tanto positivos quanto negativos.

Viète chamava sua álgebra simbólica de logística especiosa por oposição à logística numerosa, que trata dos números. ´E importante observar que Viète tinha plena consciência de que seu emprego de letras lhe permitia trabalhar com classes de equações, por oposição ao emprego de números, que permite apenas trabalhar com um exemplo de cada vez. Com isso ele tornou explícita a diferença entre álgebra e Aritmética: para ele, a Álgebra logística especiosa era um método para operar com espécies ou formas de coisas e a Aritmética logística numerosa – lidava apenas com números.

Também tentou “trabalhar algebricamente”, provando, por exemplo, as identidades que os gregos tinham exibido por métodos geométricos. Assim, no seu Zeteticorum Libri Quinque – Cinco Livros de An´alise2 – publicado em 1593, ele utiliza o método de “completar quadrados” numa equação de segundo grau e também encontramos ali identidades gerais do tipo:

Álgebra

que ele escreve na forma:

a cubus + b in a quad. 3 + a in b quad.3 + b cubo aequalia a + b cubo.

Após sua morte, seu amigo escocês Alexandre Anderson fez publicar, em 1615, num só volume, dois artigos de Viète escritos em torno de 1591, intitulados De aequationem recognitione e De aequationem emendationem.

Vièete não usava o termo Álgebra que, por ser de origem árabe, não considerava adequado para a Europa cristã; no seu lugar empregava o termo Análise que, devido talvez a sua influência, foi adotado depois como sinônimo de “Álgebra Superior”. Dois episódios ilustram muito bem o talento matemático de Viète e fama que chegou a desfrutar ainda durante sua vida Em 1593, o matemático belga Adriaen van Roomen (1561-1615) – ou Adrianus Romanus, na versão latinizada do seu nome – propôs “a todos os matemáticos” o problema de resolver uma determinada equação de grau 45, do tipo:

Álgebra

O embaixador dos Países Baixos na corte de França afirmou então que nenhum matemático francês seria capaz de resolver esta equação. O rei, Henrique IV, fez Vi`ete saber deste desafio e ele notou que a equação proposta resultava de expressar a igualdade K = sen(45._) em termos de x = sen _ e conseguiu achar, nessa primeira audiência, uma raiz positiva. No dia seguinte, ele achou todas as 23 raízes positivas da equação. Van Roomen ficou tão impressionado que fez uma visita especial a Viete. Este publicou sua solução em 1595, num tratado intitulado Ad problema, quod omnibus mathematicis totius orbis construendum propusuit Adrianus Pomanus, responsum.

Outro episódio que ilustra sua extraordinária capacidade ´e o seguinte. Durante a guerra com a Espanha, ainda a serviço de Henrique IV, ele pode decifrar o código utilizado pelos espanhóis a partir de cartas que foram interceptadas e, dali em diante, conhecer o conteúdo de novas cartas escritas nesse código. Os espanhóis achavam seu código tão difícil de ser quebrado, que acusaram a França, perante o Papa, de usar feitiçaria.

O uso de letras para representar classes de números e assim tratar das equações de forma mais geral demorou a ser aceito. Um aperfeicoamento desta notação foi devido a René Descartes (1596-1650) que, na sua obra intitulada utiliza pela primeira vez a prática hoje usual de utilizar as primeiras letras do alfabeto para representar quantidades conhecidas e as ´ultimas, como x,y z para as incógnitas. ´E precisamente nesta obra que Descartes apresenta as idéias que deram origem `a Geometria Analítica, junto com as contribuições de Pierre de Fermat. Esse texto não foi apresentado como um livro independente mas como um apêndice da obra pela que seria mais conhecido, o Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la v´erit´e dans les sci´ences, em 16374 A obra foi publicada em francês e não latim, que era a linguagem científica universal da época. Frans Van Schooten (1615-1660), um matemático holandês, publicou em 1649, em Leyden, uma tradução ao latim que incluía material suplementar e que foi ampliada a dois volumes em 1654-1661. Foi devido a esta publicação e a ação de Von Schooten e seus discípulos que a geometria cartesiana se desenvolveu rapidamente.

O progresso final, em relação ao uso da notação consistiu em usar uma letra também para representar o grau de uma equação. Nossa notação moderna que utiliza expoentes negativos e fracionários foi introduzida por Isaac Newton (1642-1727) numa carta dirigida a Oldenburg, então secretário da Royal Society, em 13 de junho de 1676, onde diz:

Álgebra

Também sua fórmula para o binômio foi anunciada nesta carta, usando letras para representar inclusive expoentes racionais. Antes de Newton, já JohnWallis (1616-1703) tinha usado expoentes literais, em 1657, em expressões tais como Álgebra ao tratar de progressões geométricas.

O primeiro a usar o símbolo + tal como o conhecemos foi Robert Recorde (1510-1558), que em 1557 publicou o primeiro texto de álgebra da Inglaterra, chamado The Whetstone of Witte. Ali ele introduz o s´imbolo dizendo:

I will sette as I doe often in woorke vse, a pair of paralleles or Gemowe 5lines, of one length, thus :=, bicause no .2 thynges, can be moare equalle.

(Usarei, como faço frequentemente no trabalho, um par de linhas paralelas, do mesmo comprimento assim :=, porque duas coisas não podem ser mais iguais).

Este símbolo não foi incorporado rapidamente; como vimos, Viéete, usava ainda, em 1589, a expressão aequalis e, mais tarde, o símbolo _. Descartes, em 1637, usava / que provavelmente deriva de ae, usado como abreviatura de aequalis. Incidentalmente, vale a pena mencionar que os símbolos + e – hoje usados para denotar adição e subtração respectivamente aparecem impressos pela primeira vez num texto de Johannes Widman, professor da Universidade de Leipzig nascido em torno de 1460. O sinal + deriva, aparentemente da palavra latina et, usada em vários manuscritos para designar a adição e o sinal – da letra m que, como vimos, era usada para abreviar minus. Eles são usados uma aritmética comercial intitulada Rechenung auff allen Kauffmanschafft que publicou em 1489, mas estes sinais já aparecem em notas manuscritas de um aluno seu de 1486 que se conservam na biblioteca de Dresden (Codex Lips 1470). Eles foram aceitos gradativamente e já Boaventura Cavalieri, um discípulo de Galileo, na sua Exercitationes Geometricae Sex de 1647 os usa como se fossem familiares ao leitor.




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